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圆锥曲线论

阿波罗尼奥斯创作数学著作

圆锥曲线最早是由古希腊学者梅内克谬斯(Menaechmus)进行系统研究的，他用顶角分别为直角、锐角和钝角，三种直圆锥以不过顶点而垂直一条母线的平面截割这三种圆锥曲面，而分别得到抛物线、椭圆和双曲线的一支。

简介
圆锥曲线亦称圆锥截线。简称锥线。一类重要的二次曲线。它是不过圆锥顶点的平面与圆锥面相交而成的曲线。
设圆锥的半顶角为α，平面与圆锥的轴所成的角为θ：
当θ=α 时，截面和圆锥的一条母线平行，交线是抛物线；
当 α<θ≤π/2 时，截面和所有的母线相交，交线是椭圆，特别当θ=π/2 时，交线时圆；
当 0≤θ<α 时，截面和两条母线平行，交线时双曲线。
因此，圆锥曲线包括抛物线、椭圆和双曲线，统称圆锥曲线。如果平面过圆锥的顶点，截面与圆锥面的交集有以下几种情况：
当θ=α 时，平面与圆锥面相切于圆锥的一条母线，可视为退化抛物线；
当α<θ≤π/2 时，平面与圆锥面有惟一公共点（圆锥的顶点），可视为退化的椭圆；
当 0≤θ<α 时，平面与圆锥面相交于两条母线，可视为退化双曲线。
这些交集统称为退化圆锥曲线。一般所谓的圆锥曲线，是指非退化的圆锥曲线。
在平面仿射坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又称为二次曲线。而且平面与任何二次曲面的交线总是二次曲线。例如，圆柱的斜截口即为椭圆。设想在圆锥的顶点 V 处放一点光源，圆在灯光下的阴影一般时圆锥形的，因此，圆锥曲线是圆在中心投影下，在不同平面上的射影。椭圆、抛物线、双曲线与圆在中心投影下互变的规律性对于航空测量（高空照片的分析）和透视学研究具有重要意义。
发展
圆锥曲线最早是由古希腊学者梅内克谬斯(Menaechmus)进行系统研究的。
到了亚历山大里亚时期，阿波罗尼奥斯(Apollonius,(P))在他的《圆锥曲线学》中指出同一圆锥的不同截口曲线可以是抛物线（齐曲线）、椭圆（亏曲线）和双曲线（超曲线），并且研究了圆锥曲线的共轭直径、切线和法线及其性质，也研究了圆锥曲线的极点和极线的性质。书中没有谈准线，但圆锥曲线是到定点（焦点）和到定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹，对此欧几里得(Euclid)是知道的，并由帕普斯(Pappus,(A))述及且给出证明，这些对形成近代圆锥曲线的理论有着深远的影响。
自从笛卡儿(Descartes,R.)引进坐标系以来，沃利斯(Wallis,J.)在他的《论圆锥曲线》中，为了阐明阿波罗尼奥斯的结果，把几何条件转化为代数条件，第一个证明了动点坐标x,y的二元二次方程与几何里的圆锥曲线对应，并开始用方程的理论来研究曲线的性质。
16 —17 世纪，随着机械工业的诞生和航海、建筑、造船、采矿等事业的发达，推动了天文学和力学的发展。这时在天文学上发现行星的轨道是椭圆，力学上确定了抛射体的轨道是抛物线等。因此，有关圆锥曲线的深人研究也就成为迫切的需要了。
到了18 世纪,由于欧拉(Euler,L.)等多人的努力，圆锥曲线的现代理论才有了最终的结果。
性质
椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：
1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：
其中，。
2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：
其中，。
参数方程：；（θ为参数，0≤θ≤2π)。
双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则│PF1-PF2│=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：
其中a>0，b>0，c2=a2+b2。
2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：
其中a>0，b>0，c2=a2+b2。
参数方程：x=asecθ；y=btanθ （θ为参数）。
抛物线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。
参数方程
x=2pt2 ，
y=2pt (t为参数)，
t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0。
直角坐标
y=ax2+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay2+by+c （开口方向为x轴，a≠0)。
离心率
椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。
这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中l表示半径，e表示离心率；
2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：
椭圆
|PF1|=a+ex(PF1>PF2)；
|PF2|=a-ex(PF2
双曲线
P在左支，|PF1|=-a-ex，|PF2|=a-ex；
P在右支，|PF1|=a+ex，|PF2|=-a+ex；
P在下支，|PF1|= -a-ey，|PF2|=a-ey；
P在上支，|PF1|= a+ey，|PF2|=-a+ey。
抛物线
|PF|=x+p/2。
切线方程
圆锥曲线上一点P（，）的切线方程：
以代替，以代替；以代替，以代替
即得椭圆：；双曲线：；抛物线：。
焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆：；
双曲线：；
抛物线：p。
焦点三角形
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。
设F1、F2分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PF1F2能构成三角形。
若∠F1PF2=θ，则椭圆焦点三角形的面积为；
双曲线焦点三角形的面积为。
通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。
椭圆的通径：
双曲线的通径：
抛物线的通径：2p
对比
中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程：
1、联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，再由中点坐标公式和两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2、点差法（代点相减法）
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[(x1+x2)(x1-x2)]/a2+[(y1+y2)(y1-y2)/b2]=0
由斜率为(y1-y2)/(x1-x2），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）
统一方程
平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示：
其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。
①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到准线距离的抛物线。其中与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。
②0准线距离，e为离心率的椭圆。其中与极轴夹角α。
③e>1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的双曲线。其中与极轴夹角α。
④e=0时，表示点F(g,h)。
五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。
注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如圆等。
附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：
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