多面体

数学概念

多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体。它有三个相关的定义，在传统意义上，它是一个三维的多胞形，而在更新的意义上它是任何维度的多胞形的有界或无界推广。将后者进一步一般化，就得到拓扑多面体。

定义及特征

定义

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展，如果其他各面都在这个平面的同侧，就称这个多面体为凸多面体。多面体至少有4个面。多面体依面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等。把一个多面体的面数记作F，顶点数记作V，棱数记作E，则F、E、V满足如下关系：F+V=E+2。

这就是关于多面体面数、顶点数和棱数的欧拉定理，每个面都是全等的正多边形的多面体叫做正多面体。每面都是正三角形的正多面体有正四面体、正八面体和正二十面体。每面都是正方形的多面体只有正六面体即正方体，每面都是正五边形的只有正十二面体。由欧拉定理可知一共只有这5种正多面体。

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。不在同一个面上的两个顶点的连线叫棱柱的对角线。两个底面间的距离叫做棱柱的高。侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。容易看出棱柱的侧棱的长都相等，侧面都是平行四边形。两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。底面是矩形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。易见长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上3条棱长的平方和，称垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面为棱柱的直截面。斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。直棱柱的底面是直截面，因此直棱柱的侧面积等于它的底面的周长与一条侧棱长的乘积。棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积。

特征

面与面之间仅在棱处有公共点，且没有任何两个面在同一平面上。一个多面体至少有四个面。

通常情况下，只有当多面体的所有面均为平面且单联通，并且其所包围的内部空间单联通时，才为经典多面体

注意：各面都是平面的立体图形称为多面体。像圆锥、圆台因为有的面是曲面，而不被称为“多面体”。圆锥、圆柱、圆台统称为旋转体。立体图形的各个面都是平的面，这样的立体图形称为多面体。

一个小窍门：从正六面体开始，每两个正多面体的棱数相同，顶点数与面数正好相反，但只适用于一部分正多面体。

经典多面体

立方体，棱锥和棱柱都是多面体的例子。多面体包住三维空间的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分。一个多面体是多边形的三维对应。多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体。

正多面体　所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的。

正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。

古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。

正多面体

正多面体，或称柏拉图立体，指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体。因此对于每两个顶点来说都有一个等距的映射将其中一点映射到另一点。

命名由来

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写在《提玛友斯》内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法，命题14就是正八面体，命题15为立方体，命题16是正二十面体，命题17是正十二面体。

判断依据

判断正多面体的依据有三条：

(1)正多面体的面由正多边形构成

(2)正多面体的各个顶角相等

(3)正多面体的各条棱长都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不相等因此不是正多面体。

正多边形都是轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形又是中心对称图形如果 n 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。如果 n 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。例如：正多边形的周长与它的外接圆的直径的比值，与直径长短无关。古代数学家正是利用这一性质，逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近它的外接圆的周长，从而求得了圆周率的近似值。

arcgis多面体

多面体要素

多面体要素是一种可存储面集合的GIS 对象，能够在数据库中将 3D 对象的边界表示为单个行。面可存储表示要素组成部分的纹理、颜色、透明度和几何信息。面中存储的几何信息可以是三角形、三角扇、三角条带或环。

所有多面体都将 z 值作为用于构建面的坐标系的一部分而存储。尽管可以使用数字要素属性建立多面体的基础 z值模型，但此选项可能不支持使用嵌入式 z 值时可用的相同分析和交互选项。

有些多面体要素被视为已闭合，这表示它们正确定义了体积。闭合的多面体可用于其他分析工具，如 3D 联合和 3D相交。要将多面体视为已闭合，必须以正确方式构造该多面体。要素必须代表一个相异的体积。构成该体积的面必须具有与其坐标相同的逆时针方向并参与定义体积的外壳。这些面不得彼此相交，并且壳中不得存在间距或空白空间。可以使用是否为闭合地理处理工具来验证多面体是否已正确闭合。

多面体要素的示例包括带纹理的建筑物、灯柱、树、子表面地层、地下建筑物或某种类型的分析表面。

创建多面体要素类

要创建新的多面体要素类，只需在定义要素类的几何时从类型下拉菜单中选择“多面体要素”。

z 值

Z 值用于表示多面体要素的形状和高程。它可以表示绝对高度或相对于地面的高度。对生成的 3D 要素类进行显示和分析时，两种方法均完全受支持。

应该在要素类所在的要素数据集(如果存在)或在要素类自身(如果没有要素数据集)中定义要素类 z 值的单位和基准面。如果未定义单位，ArcGIS 将假定 z 的单位与 x,y 的单位匹配。此假定可能会带来问题，尤其当 x,y 的单位是地理单位(纬度-经度)时。

创建多面体要素

使用地理处理工具将现有 3D 模型导入到 ArcGIS 中可创建多面体要素。3D 图层到要素类地理处理工具会将通过各种模型格式(如 SketchUp、OpenFlight、3ds 或 COLLADA)符号化的点转换为多面体要素类。导入 3D 文件地理处理工具也可执行相同操作，但会提供更多导入格式选项(如 VRML)。此外，也可使用 ArcObjects 以程序的方式来构造多面体要素。

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