诺特定理

物理学术语

诺特定理，是奇异积分方程的基本定理，为理论物理的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）。

简介

诺特定理把对称性跟守恒量联系起来了，非常有用。是指对于力学体系的每一个连续的对称变换，都有一个守恒量与之对应。对称变换是力学体系在某种变换下不变。

诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。如果我们想象一下，譬如重力的强度每天都有所改变，我们就会违反能量守恒定律，因为我们可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比我们开始输入的能量更多的能量。

诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）。

定理的数学表述

诺特定理是奇异积分方程的基本定理。它并不限于柯西型核的奇异积分方程。

定理1：奇异积分方程Kφ=f可解的充分必要条件是成立关系式：

其中ψi(t)(i=1，2，…，k′)是相联齐次方程K′ψ=0的线性无关解的完备系；

定理2：齐次方程Kφ=0的线性无关解的个数k与相联齐次方程K′ψ=0的线性无关解的个数k′之差只与K的特征部分有关，它等于算子K的指标，即k-k′=κ。

第二类弗雷德霍姆积分方程的弗雷德霍姆定理是柯西核奇异积分方程中b(t)=0，即诺特定理κ=0的特例。由此可见，对指标为零的奇异积分方程，弗雷德霍姆定理是成立的，这类方程称为拟弗雷德霍姆方程，其相应的奇异积分算子称为拟弗雷德霍姆算子。

对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。

更学术化的解释

上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。

定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。

应用

诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：

对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了线性动量的守恒律；对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。

在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。

诺特荷也被用于计算静态黑洞的熵1。

证明

设我们有一个n维流形M以及一个目标流形T。令为从M到T的光滑函数组成的位形空间。（更一般的情况下，我们可以有一个M上的纤维丛的光滑截面）

经典力学上，哈密顿表述中，M是一个一维流形R，代表时间而目标空间是广义位置的空间的余切丛。

场论中，M是时空流形，而目标空间是场在任何给定可取的值的集合。例如，如果有m个实值标量场，φ1,...,φm，则目标流形是Rm。若流形是一个实向量场，则目标流形同构于R3。

现在设有一个泛函称为作用量。（注意它在中而非中取值；这是有物理原因的，并且并不影响本证明。）

要得到通常版本的诺特定理，我们需要对作用量作额外的限制。我们假设S[φ]是M上的如下函数的积分

称为拉格朗日量，它依赖于φ，包括它在各点的导数和位置。换句话说，对于中的φ

设我们给出边界条件，也即，在M为紧致的情况下φ在边界的取值，或者在x趋向∞时，φ的极限。则的由满足如下两个条件的的φ组成的子空间就是在壳解的子空间，其一是φ的S的泛函导数为零，也即：

其二是φ满足给定边界条件。（参看稳定作用量原理）

现在，假设我们有一个无穷小变换，定义在上，它由一个泛函求导Q生成，满足

对于所有紧致子流形N成立，换句话讲（散度定理），

对于所有x成立，其中我们令

若这在在壳和离壳都成立，我们称Q生成一个离壳对称性。若只在在壳情况成立，称Q生成在壳对称性。然后，我们称Q是单参数对称性李群的生成元。

现在，对于每个N，因为欧拉-拉格朗日定理，在壳（只有在壳）

因为这对于所有N成立，我们有

但这无非就是对于如下的流的连续性方程

这被称为和该对称性相关的诺特流（Noether current）。该连续性方程说明如果对这个流在空间式切片上积分，就可以得到称为诺特荷的守恒量（当然，必须假定M非紧致时，该流趋向无穷远处时下降足够快）。

相关再叙述

常见的例子有动量、能量、角动量守恒跟相应的时空均匀性的关系：

空间均匀性与动量守恒：空间是均匀的，也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一样的，物理定律在空间平移（比如从地球移到月亮上）变换下是不变的，由诺特定理可以得到存在这么一个守恒量，即动量。

空间各向同性与角动量守恒：空间是各向同性的，也就是空间没有一个特殊的方向，我们任意取坐标轴的方向，虽然物理量的数值在各个坐标系当中可能是不一样的，但物理定律所对应的方程是不变的，比如牛顿运动定律F=ma（矢量形式）在空间旋转变换下是不变的，我们把坐标轴旋转，虽然矢量的各个分量变了，但总的方程F=ma（矢量形式）是不变的，这样，在牛顿力学当中，就存在着一个跟空间各向同性相对应的守恒量——角动量。

时间均匀性跟能量守恒：同样，由时间均匀性，也就是过去、现在、未来物理定律是一样的，由诺特定理可以得出存在这么一个守恒量——能量。

一般诺特定理的证明都是在拉格朗日形式下来证明的，也就是假定我们所发现的力学体系的拉格朗日描述是正确的。

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