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序域

序域

序域(ordered field)是一种特殊的域，它是有序结构的域。一个域F，若在它的元素之间存在一个二元关系>，满足下述条件：1.对于任意a∈F，必有a=0或a>0或-a>0三者之一成立(0指F的零元)；2.从a>0，b>0可导出a+b>0及ab>0，则称>是F的一个序，带有序>的域F称为序域，记以(F，>)。凡是能在其中规定序的域，就称为可序的，或称可序域。在实数域R和有理数域Q中，通常的大小关系就给出它们的一个序。因此R和Q都是可序域，而且，它们只能有这样给出的序。不过，并非所有的可序域都只有惟一的序。

基本介绍
设F是任意域；以0，1分别表示它的零元和乘法单位元。若-1不能表作F中的平方和，就称F为实域（或者形式实域）。常见的有理数域Q和实数域R，都是这个意义下的实域；但复数域C以及有限域，都不是实域。
对于F中任何子集P，今规定以下记法
定义1设P为F的子集，如果满足条件：
(1)；
(2)； （1）
(3)，
则称P是F的一个正锥。
当P是F的正锥时，从上述条件不难得知；以及对于任何，皆有。从F的正锥P，可以定出F中一个二元关系如下：
当且仅当 （2）
从(1)式可知应满足以下的条件：
(1)；
(2) 对于任何二元素，必有，或者；
(3) 由和，得到； （3）
(4) 由和，得到；
(5) 由有；
(6) 由和，得到。
当与同时成立时，我们简记作。
如果以P记，则当且仅当。
我们称≤为P所定的序关系。一般而言，任何一个定义在F上，且满足(3)的二元关系≤，都可称作F的序关系。当给定了F的一个序关系≤，我们也可以反过来在F上定出正锥。令
容易验知，这个P满足(1)的条件，所以是个正锥；而且，由它所定的序关系，正是事先所给的≤。这个事实表明，域的正锥和序关系，二者是可以相转换的。因此我们说，正锥P或者序关系，给出F的一个序；而且我们迳用P同时表示正锥和由它给定的序（有时也用序关系的符号≤）。
一个在其中可以定出序的域，称作可序的，或者可序域，可序域一般可以有许多序，当我们特别取定F的某个序P时，就称F为序域，记以(F，P)，或者(F，≤)。
相关概念与定理
在可序域中，不同的序之间，不存在集包含关系（作为正锥而言）。这是下述引理所指出的：
引理1设是F的两个序，若有，则应用。
命题1可序域必定是实域；可序域的特征只能是0。
为了进一步阐明可序域与实域的关系，现在再引进一个概念：
定义2设Q是F的一个子集。若有：
(1) ；
(2)； （4）
(3)；
则称Q是F的一个亚正锥，或者说，Q给出F的一个亚序。
以下为简便计，也迳称Q为F的亚序；此时又称为一个亚序域。从定义立即知道；并且，亚序域是实域，反之，当F是实域时，；此时；满足条件(4)。因此，是F的一个亚序，又按集包含关系，是最小的亚序，所以也称作F的弱亚序。实域，可以作为亚序域。
与序的情形不同，在实域的亚序之间，可以有集包含关系存在，今有：
引理2F中按集包含关系的极大亚序，就是F的一个序。
当F是实域时，它有弱亚序，通过Zorn引理的论断，F有极大亚序，再按上述引理，就得到：
命题2实域一定是可序的。
由命题1和2，即得：
定理1F成为实域，当且仅当F是个可序域。
引理2尚可作进一步的强化如下：
引理3设(F，Q)是个亚序域，。于是存在F的某个序P，使得有，以及。
我们称满足的序P为亚序域(F，Q)的一个序，从上述引理立即得到：
定理2对于亚序域(F，Q)，等式
成立，其中P遍取(F，Q)所有的序。
由于实域F可作为亚序域，故有
推论（阿廷定理）对于实域F，等式
成立，其中P取遍F所有的序。
在序域(F，P)中，可以引入一些与通常相类似的概念，对于元素，今规定它的绝对值，如下
我们称为(F，P)中的正元素；为负元素。对于亚序域(F，Q)，据定理2，元素属于(F，Q)的每个P。因此，可称它为(F，Q)的全正元。特别在F为实域时，它的全正元是属于每个正锥的非零元，此时阿廷定理可以陈述如下：实域F中的元素，成为F的全正元，当且仅当a可表示成F中的平方和。
最后还应指出，(6)的左边对于任何域都是有意义的。如果F不是实域，同时它有特征≠2，则任何都可以表如
由于F不是实域，应有，以此代入上式，得到a的一个平方和表式，即。
把序和亚序的概念推广到交换环上，现在设A是一个带有单位元素1的交换环；以记A中由所有的有限平方和所成的子集，与域的情形一样，我们称A中满足定义2的子集Q为A的一个亚正锥，或者迳称作A的亚序，当时，本身就是A的一个亚序。这个亚序也称作A的弱亚序，就环的情形而论，今有一个与引理2相类似的结论：
引理4对于A的任何一个给定的亚序，必然存在亚序Q，满足，以及
这里J是A的一个素理想。
根据这个引理，我们把满足上式的亚序称作交换环A的序；又称素理想J为序Q的支柱，记作。于是得到了：
命题3交换环A的任何一个亚序，都可以扩大成序，其支柱是A中的素理想。
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