数值积分

数学术语

数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。

简介

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。

龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration)。

当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

必要性

数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式。例如常见的正态分布函数：

的原函数就无法用初等函数表示。

不仅如此，在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等。另外，积分函数有可能是某个微分方程的解。由于很多微分方程只能数值求解，因此只能知道函数在某些点上的取值。这时是无法用求原函数的方法计算函数的积分的。

另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能使用更广泛的格林公式或斯托克斯公式，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。

代数精度

若式（2）对 (k=0,1，…，m)精确成立，亦即E(f)=0，而当时k=m+1时（2）不再是精确等式，则说求积公式（2）的代数精度是m。根据K.魏尔斯特拉斯的“多项式”逼近定理，就一般的连续函数f而言，m越大E(f)越小，因此可以用代数精度的高低说明求积公式的优劣。

矩形法

用一系列矩形的和来逼近积分的精确值。

矩形法是一种常见的数值积分方法，用来计算一维定积分的近似值。矩形法的主要思想是将积分区间I=[a,b]分割成许多足够小的分区间的总和：，使得能够假设积分函数f在各个小区间上的取值变化不大。这时，可以在每个分区间上取一个代表性的点（称为节点），并将分区间的长度乘以积分函数在这一点上的值，以近似得到函数在这一段小区间上的积分。直观上来看，就是取一个矩形，用它的面积来代替积分函数的曲线在这一小段区间上围出来的曲边梯形的面积。总体上，将所有这样的矩形面积加起来（这个和称为黎曼和），就近似地等于函数在这个区间上的定积分。

根据黎曼积分的定义，只要区间被分得足够精细，那么这样的分割所得到的黎曼和会无限趋近于函数的积分。

公式

根据每个小区间中节点的选取方式，可以得到不同的数值积分公式。

上矩形公式：取每个小区间中的“最高点”（f的最大值或上确界）作为节点。

下矩形公式：取每个小区间中的“最低点”（f的最小值或下确界）作为节点。

中矩形公式：取每个小区间中央的一点作为节点。

插值法

另一种数值积分的思路是用一个容易计算积分而又与原来的函数“相近”的函数来代替原来的函数。这里的“相近”是指两者在积分区间上定积分的值比较接近。最自然的想法是采用多项式函数。比如说，给定一个函数f后，在积分区间I=[a,b]中取，就可以对原来的函数进行拉格朗日插值。得到拉格朗日插值多项式以后，计算这个多项式的积分。

其中Li是拉格朗日插值的基本多项式。

牛顿公式

牛顿-柯特斯公式是一种插值型公式。假设I=[a,b]中取，可以写成：

其中的

如果n=1，那么牛顿-柯特斯公式就变成梯形公式（取每个小区间两端点，做成梯形，梯形的值也和矩形一样，趋于原来的函数的积分）。

高斯型

一类具有最高的代数精度的内插型求积公式（表1）。

求积公式含有2(m+1)个自由参数（xj和Aj），恰当选择这些参数，能使公式的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点x0,x1,…,xm取为区间[α,b]上关于权函数ω(x)的m+1次正交多项式的零点，内插型求积公式即达到最高代数精度2m+1。这里[α,b] 可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。

高维数值积分的主要方法有蒙特卡罗法、代数方法和数论方法。

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