映射空间

拓扑学的基本概念

映射空间亦称函数空间，拓扑学的一个基本概念。它是一类重要的拓扑空间，设X，Y是集合，F为X到Y的映射组成的族，在F上引入拓扑使之成为拓扑空间，则称F为映射空间。在映射空间理论中常见的拓扑有点态收敛拓扑、紧开拓扑、一致收敛拓扑、紧收敛拓扑等。

点式收敛拓扑

设X为一个集合，为一个拓扑空间．从X到Y的所有映射构成的集合记作

={ 为映射}.

实际上，它就是以X为指标集的笛卡儿积对，令为的第x个投射，则对恰为映射f在点x处的像，因此，我们将投射改称为在点x∈X处的赋值映射。

另一方面，的积拓扑便是以 ={ 为中的开集，x∈X }为子基的拓扑，并称为的点式收敛拓扑，而称为从集合X到拓扑空间的映射空间(点式收敛拓扑)。

由于映射空间(点式收敛拓扑)是一类特殊的拓扑积空间，因此，关于拓扑积空间的一般理论全部适用于它，无须另行证明。

定理1 设X为一个集合，为一个拓扑空间，则映射空间 (点式收敛拓扑)为空间 Y为平庸拓扑空间，或者X为至多可数集并且Y为空间。

定理2 设X为任一集合，Y为一个拓扑空间，则映射空间 (点式收敛拓扑)为 ( 正则，完全正则，连通，路连通，紧致)空间 Y为 ( ，正则，完全正则，连通，道路连通，紧致)空间。

对于连续映射，我们引进

定义2 设与为两个拓扑空间，为从到的所有连续映射构成的集合，则，C(X，Y) 作为映射空间 (点式收敛拓扑)的子拓扑空间称为从拓扑空间到拓扑空间的连续映射空间(点式收敛拓扑)，并且C(X，Y) 的拓扑也称为点式收敛拓扑。

C(X，Y) 作为的子拓扑空间，自然可以继承的许多拓扑性质．例如，当Y为 ( ，正则、完全正则、连通、道路连通、紧致)时，由可积性知，映射空间 (点式收敛拓扑)为 ( ，正则，完全正则、连通、道路连通、紧致)空间，再根据遗传性，连续映射空间C(X，Y) (点式收敛拓扑)也为 ( ，正则，完全正则、连通、道路连通、紧致)空间。

一致收敛度量

定义3 设X为一个集合，﹙Y，ρ﹚ 为一个度量空间，记为从X到Y的所有映射构成的集合，定义

对

容易验证为的一个度量，称它为的一致收敛度量，度量空间称为映射空间(一致收敛度量)，由一致收敛度量诱导出来的拓扑称为的一致收敛拓扑．拓扑空间称为映射空间(一致收敛拓扑)。

当为一个拓扑空间时，从到的所有连续映射构成的集合作为度量空间的子度量空间，称为连续映射空间(一致收敛度量)，此时它的度量也称为一致收敛度量；它作为拓扑空间的子拓扑空间称为连续映射空间(一致收敛拓扑)，此时它的拓扑也称为一致收敛拓扑。

定理3设X为集合，﹙Y，ρ﹚ 为一个度量空间．在度量空间 (一致收敛度量)中的一个序列收敛于序列一致收敛于，即，当时，

定理4 设X为一个集合，﹙Y，ρ﹚ 为一个完备度量空间，映射空间(一致收敛度量) 也为一个完备度量空间。

定理5 设为一个拓扑空间， ﹙Y，ρ﹚为一个度量空间，则从到的所有连续映射构成的集合为映射空间(一致收敛拓扑)中的一个闭集，因此，度量空间C(X，Y) (一致收敛度量)也是一个完备度量空间。

紧开拓扑

定义4 设X与Y为两个拓扑空间，W为X的全体紧集构成的集族，则从X到Y的全体映射构成的集合的W一开拓扑称为的紧开拓扑，拓扑空间( ， )称为映射空间(紧开拓扑)。

从X到Y的全体连续映射构成的集合C(X，Y) 作为映射空间 (紧开拓扑)的子拓扑空间称为连续映射空间(紧致一开拓扑)；并且的紧开拓扑在C(X，Y)上的限制也称为C(X，Y) 的紧开拓扑。

定理6 设X与Y为两个拓扑空间，与分别为从X到Y的全体映射构成的集合的点式收敛拓扑与紧开拓扑，则。