正交分解

一种矢量分解方法

正交分解是高中物理力学的一种求解方法。全称为“力的正交分解”。

信息简介

1.介绍：高中物理力学的一种求解方法。全称为“力的正交分解”，如图1、2所示

2.定义：将一个力分解为Fx和Fy两个相互垂直的分力的方法，叫作力的正交分解

从力的矢量性来看，是力F的分矢量；从力的计算来看，力的方向可以用正负号来表示，分量为正值表示分矢量的方向跟规定的正方向相同，分量为负值表示分矢量的方向跟规定的正方向相反．这样，就可以把力的矢量运算转变成代数运算．所以，力的正交分解法是处理力的合成分解问题的最重要的方法，是一种解析法．特别是多力作用于同一物体时。

3.它是力的合成的逆运算。

求合力

第一步，选定研究对象.并以质点的形式对进行表示。

第二步，对选定的研究对象进行受力分析。

第三步，建立直角坐标系.一般来讲在水平面内可以任意建立坐标系，但是在斜面上最好沿物体下滑的方向建立x轴，然后建立y轴。

第四步，分析加速度方向。必要时也可将加速度进行正交分解，以便于做题。

第五步，表达合外力。第六步，列出x方向，与y方向上的牛顿第二定律方程。第七步，若需其他方程，也要列出需要的方程，然后求解。

第八步，检验是否符合实际情况。（比如力为负的不可取）

目的与原则

把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解法，在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算公式来解决矢量的运算.在力的正交分解法中，分解的目的是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况，物体受到F1,F2,F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴，y轴分解，则在x轴方向各力的分力分别为 F1x,F2x,F3x…，在y轴方向各力的分力分别为F1y,F2y,F3y….那么在x轴方向的合力Fx = F1x+ F2x+ F3x+ …，在y轴方向的合力Fy= F1y+ F2y+ F3y+….合力，设合力与x轴的夹角为θ，则.在运用正交分解法解题时，关键是如何确定直角坐标系，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则；在动力学中，以加速方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标，这样使牛顿第二定律表达式为：F=ma。

典型例题

例1

物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N，受到斜向上方向与水平面成30°角的力F作用，F = 50N，物体仍然静止在地面上，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少

解析：对F进行分解时，首先把F按效果分解成竖直向上的分力和水平向右的分力，对物体进行受力分析.F的效果可以由分解的水平方向分力Fx和竖直方向的分力Fy来代替.则：

由于物体处于静止状态时所受合力为零，则在竖直方向有：Fy=Fsin30° 　则在水平方向上有：Fx=Fcos30°

例2

一物体放在倾角为θ的光滑斜面上，求使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力.

解析：使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力都是由重力引起的，把重力分解成两个互相垂直的两个力，其中F1 为使物体下滑的力，F2为物体压紧斜面的力，则：

点评：F1和F2是重力的分力，与重力可以互相替代，但不能共存.

拉力F作用在重为G的物体上，使它沿水平地面匀速前进，若物体与地面的动摩擦因数μ，当拉力最小时和地面的夹角θ为多大

解析：选取物体为研究对象，它受到重力G，拉力F，支持力N和滑动摩擦力f的作用,根据平衡条件有：

解得：

设，则，代入上式可得：

当时，，此时F取最小值.

拉力取最小值时，拉力与地面的夹角

点评：这是一个和数学最值知识相结合典型例题，同学们可以通过本题体会和总结用数学知识解决物理问题的方法，逐步建立数学物理模型.

例3

大小均为F的三个力共同作用在O点，F1,F2与F3之间的夹角均为60°，求合力.

解析：此题用正交分解法既准确又简便，以O点为原点,F1为x轴建立直角坐标;

⑴分别把各个力分解到两个坐标轴上

⑶求出Fx和Fy的合力既是所求的三个力的合力

，则合力与F1的夹角为60°

点评：用正交分解法求共点力的合力的运算通常较为简便，因此同学们要在今后学习中经常应用.

运用关键

在处理力的合成和分解问题时，我们常把力沿两个互相垂直的方向分解，这种方法叫做力的正交分解法。这是一种很有用的方法，在运用时要注意以下几点：

1.力是矢量F′在X轴Y轴上的分矢量F′x和F′y是矢量，分量为正值表示分矢量的方向跟坐标轴的方向相同，分量为负值表示分矢量的方向跟坐标轴的方向相反。

2．确定矢量正交分量的坐标轴，不一定是取竖直方向和水平方向。例如，分析物体在斜面上的受力情况，一般选取x轴与斜面平行，y轴与斜面垂直。坐标轴的选取是以使问题的分析简化为原则。通常选取坐标轴的方法是：选取一条坐标轴与物体运动的加速度的方向相同（包括处理物体在斜面上运动的问题），以求使物体沿另一条坐标轴的加速度为零，这样就可得到外力在该坐标轴上的分量之和为零，从而给解题带来方便。

其他分解

矩阵的正交分解

矩阵的正交分解是指A分解为一个正交矩阵Q和一个对角可逆上三角矩阵R的乘积。

矩阵正交分解的应用

正交分解是先将线性方程组Ax=b的系数矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个对角可逆上三角矩阵R的乘积。然后通过求解上三角方程组Rx=Qb而求得原方程组的解，这种方法一般比三角分解法运算量大，但数值稳定性较好。

弧形的正交分解

以受力点为切点做圆弧的切线，再进行分解。

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