殆素数

数学领域术语

殆素数就是素数因子（包括相同的与不同的）的个数不超过某一固定常数的正整数。

定义

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想筛法得到的。

“a + b”问题的推进

1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

哥德巴赫猜想

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。1742年6月7日由德国数学家哥德巴赫给大数学家欧拉的信中，提出把自然数表示成素数之和的猜想，人们把他们的书信往来归纳为两点：

（1）每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和．例如，6=3+3，8=5+3，100=3+97，……．

（1）每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和，例如，9=3+3+3，15=3+7+5，……99=3+7+89，……．

这就是著名的哥德巴赫猜想．从1742年到200多年来，这个问题吸引了无数的数学家为之努力，取得不少成果，虽然至今没有最后证明哥德巴赫猜想，但在证明过程中所产生的数学方法，推动了数学的发展．

为了解决这个问题，就要检验每个自然数都成立．由于自然数有无限多个，所以一一验证是办不到的，因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌．也有人把哥德巴赫猜想比作数学王冠上的明珠．

为了摘取这颗明珠，数学家们采用了各种方法，其一是用筛法转化成殆素数问题（所谓殆素数就是素因数的个数不超过某一固定常数的奇整数），即证明每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超过a与b的两个殆素数之和，记为（a+b）．哥德巴赫猜想本质上就是最终要证明（1+1）成立．

数学家们经过艰苦卓绝的工作，先后已证明了（9+9），（7+7），（6+6），（5+5），……（1+5），（1+4），（1+3），到1966年我国数学家陈景润证明了（1+2），即证明了每一个充分大的偶数都是一个素数与一个素因数的个数不超过2的殆素数之和．离（1+1）只有一步之遥了，但这又是十分艰难的一步．

1966年至今已50年了，然而（1+1）仍是一个未解决的问题．

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

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