泛函积分

无限维分析学的一个分支

无限维分析学的一个新分支。它起源于量子物理学中的连续积分和概率论中的随机过程的样本空间的研究。泛函积分方法已深入到分理化量子场论、基本粒子理论、随机力学、马尔可夫场、统计物理和湍流理论等领域。同时，泛函积分正在与群表示论、巴拿赫空间几何学、微分方程论、随机过程理论相互渗透。这一切都使它成为现代分析学中的一个令人瞩目的学科。泛函积分的内容主要包括连续积分、柱测度、正定函数、拟不变测度理论等。

连续积分

定义

连续积分是指泛函沿着一类连续轨道的积分。1942年R.P.费因曼从最小作用量原理出发定义路径积分,它给出量子力学的另一种等价的表达形式,后人称为费因曼路径积分，它已在量子物理中被愈来愈多地引用。为简单起见，以有限个自由度的量子力学体系为例。通常这种体系的状态用满足薛定谔方程的复值的波函数Ψ描写。

举例说明

例如，质量为m 的粒子在势能场V(x)中的运动，这时Ψ满足方程

如果用Ψ(x,t；x0,t0)表示粒子在t0时刻处于x0位置的波函数，那么量子力学的一个基本问题是求出Ψ (x,t)或Ψ(x,t；x0,t0)的表达式。

按照经典力学的观点,质量为m的粒子在势能场V(x)中运动的拉格朗日函数为设 x(τ)是一条连续路径，适合条件x(τ0)=x0，x(τ)=x，那么沿着路径的作用量为

费因曼从最小作用量原理出发将波函数Ψ（x,t；x0，t0）表示成作用量S沿着一切可能的连接(x0,t0)和(x,t)的连续轨道上的积分，即这里N 是规范因子。

从数学的角度看，路径积分是没有经过严格定义的概念，最通常的理解是，先将【t0,t】进行n等分,记0≤j ≤n。作依次连接（xj,jΔt）的折线xn(τ)，设作n重积分

（这里Nn是规范因子）,然后将费因曼积分设想成当n→∞时上述积分的极限。但因为是随着n的增大而剧烈振荡的函数,故上述的极限实际上是不存在的。但费因曼积分非常富有启发性，许多物理学家运用这种路径积分及按他们的物理设想所提出的一些计算法则能很好地说明量子物理中的许多问题，例如从量子力学到经典力学的过渡等。同时，在量子场论中也出现了大量的类似的没有严格定义的连续积分。这就向数学家提出了建立路径积分的严格的数学基础的要求。它是泛函积分研究的重要课题之一。近40年中，人们利用解析开拓、广义函数、复值测度和振荡积分等各种手段去进行研究，尚未解决。

泛函积分与微分方程

泛函积分介绍

早在路径积分出现以前，N.维纳在研究作布朗运动的粒子的统计规律时已提出维纳测度。设t>0，C表示9[0,t]区间上连续并在0点取值为零的函数全体（C 中的每个元素可理解为作一维布朗运动的粒子的轨道）。又设(,)，1≤i≤n，是n个区间，称集合A={x|x∈C,x()∈(，),1≤i≤n}是C中的柱集。那么，轨道x 落入A中的概率是

这样在柱集全体上定义了一个柱测度。维纳证明了它可以延拓成C上的可列可加的测度dωx，通常称为维纳测度，关于这个测度的积分称为维纳积分。

微分方程

M.卡茨研究了一类泛函在作布朗运动的粒子所有轨道上的平均值的计算。设F是C上的连续泛函，这个平均值就是F关于维纳测度的数学期望。对连续轨道x作依次连接1≤j≤n的折线xn(t),记 1≤i≤n，则引用费因曼的记号，上式可改写为

M.卡茨受到费因曼路径积分表示薛定谔方程的解的思想的启发，利用维纳积分去解微分方程。证明了在一定条件下满足方程，Ψ(y,0)=ƒ(y)。

这项工作开辟了用泛函积分研究微分方程的新方向，是泛函积分中的一个十分有意义的研究领域。

柱测度

柱测度是测度概念的推广，它也是研究具有无限多个参数的随机过程(广义随机过程)的重要工具之一。设φ是拓扑线性空间,(Ω,P)是概率空间，如果给定一族依赖于φ中的元素φ 的随机变量{X(·,φ),φ∈φ }，满足线性关系（等式关于P几乎处处成立）;则称它是φ上的线性过程。另外,如果对φ中任何一个收敛于0的定向序列{φλ,λ∈Λ}，随机变量序列{x(·,φλ)，λ∈Λ}依概率收敛于0,则称{x(·，φ),φ∈φ }为广义 (线性)随机过程。根据柯尔莫哥洛夫概率测度存在性定理，在φ的代数对偶空间φA（φ上的线性泛函全体）上存在σ 代数B和概率测度μ，使得φA上的由φ(ƒ)=ƒ(φ)(φ∈φ，ƒ∈φA)定义的函数φ关于B可测，而且若，则

以上A表示R中的波莱尔集。

这里的基本问题之一是研究μ 能否集中在一个比φA更小的线性子空间W上，以便对广义随机过程{x(·，φ)，φ∈φ}的样本轨道X(ω，·)作比较深入的研究。寻找样本空间W 的问题等价于研究柱测度的可列可加性。

设X,Y是两个实的线性空间，〈x,y〉,x∈X，y∈Y是X×Y上的实的双线性泛函,并且对X中的任何非零向量x，必定存在y∈Y，使〈x,y〉≠0，对Y空间也有同样假定。在X中任取n个向量x1,x2,…xn，记Y 中使,,…,可测的最小σ代数为F(x1,x2,…,xn)。F(x1,x2,…,xn)中的集称为Y中的柱集，柱集全体记为φ，它是Y上的代数。设μ是φ上的集函数,μ 限制在每一个F(x1,x2,…,xn)上是一个概率测度，称为Y上的柱测度。当X是拓扑线性空间时，如果对任何ε>0，存在X中零的邻域V，对任何x∈V，成立μ{y|||>1}<ε，则称μ 关于X 的拓扑是连续的。特别当{X (·，φ),φ∈φ }是广义随机过程时，取φA中的线性子空间W0，使得φ=0与对一切ƒ∈W0,ƒ(φ)=0等价。设X=φ，Y=W0,<φ，ƒ>=ƒ(φ)，定义

那么，μ 是W0上关于φ 的拓扑连续的柱测度。从而W0是否成为样本空间的问题等价于柱测度μ 在W0∩φ上具有可列可加性。1959年，P.A.明洛斯证明了下面的基本定理：设φ是核空间，则φ的共轭空间(连续线性泛函全体)φ┡上的任何一个关于φ 的拓扑连续的柱测度都是可列可加的。所以φ 上的每一个广义随机过程都以φ┡为样本空间。1962年，夏道行证明，设B是具有基底{en,n≥1}的巴拿赫空间，φ是由{en,n≥1}张成的线性子空间,{en}是一列随机变量，并依概率1成立令依概率收敛}，则W上关于B的拓扑连续的柱测度是可列可加的。这个结果的重要性不但在于它是明洛斯定理的推广而且在于它指出了柱测度可列可加性与巴拿赫空间结构的本质联系。

L.施瓦尔茨研究了将柱测度变换成可列可加测度的线性映射-拉东映射，提出了巴拿赫空间型的概念,在此基础上建立了研究柱测度可列可加性的一般原理即施瓦尔茨对偶性定理。

正定函数表示

将是限维空间上深刻的调和分析理论推广到无限维空间(拓扑线性空间或更一般的拓扑群)是无限维分析的主要课题。正定函数的表示问题就是其中之一。设G是拓扑群，e是G的单位元,ƒ(G)是G上的函数,ƒ(e)=1。如果对g中任意n个元素g1,g2,…gn和任意n个复数z1,z2,…zn，成立，称ƒ是g上的正定函数。

正定函数的表示问题和柱测度的可列可加性的关系极为密切。设φ 是拓扑线性空间，φ 按向量的加法成为交换的拓扑群。若ƒ是φ上的正定函数，W是φA上的线性子空间,且φ∈φ,φ=0等价于ƒ（φ）=0，对任何ƒ∈W；那么在W上有惟一的柱测度Λ，使 (g∈φ)。ƒ是 φ上的连续的正定函数的充要条件是柱测度Λ关于φ 的拓扑是连续的。因此，经典调和分析中的有限维空间上的博赫纳定理在无限维空间上的推广问题与研究柱测度的可列可加性是等价的。当 G是一般的交换的拓扑群时，可用G的特征标群G代替φ进行类似的讨论。根据关于柱测度可列可加性的明洛斯定理知道,核空间φ上的连续正定函数必是φ ┡上的概率测度的傅里叶变换。夏道行利用拟不变测度的理论对交换拓扑群上的正定函数的表示得到了很一般的结果，即对一类交换的拓扑群推广了博赫纳定理。

拟不变测度

设X是拓扑空间，B是X中开集全体张成的σ 代数。如果 g 是X 上的双射，并且对任何A∈，则称g是(X，B)上可测同构。令G是(X,B)上可测同构全体所成的变换群。设μ是B上正则测度（即μ是满足下列条件的测度：对任何A∈B以及ε>0，必存在开集O，闭紧集F,使得O叾A叾F，并且μ(O-F)<ε）对任何G∈G，定义，A∈B。如果对一切g∈g ，g·μ与μ都等价，则称μ关于群g是拟不变的测度。

和连续积分一样，拟不变测度的研究来源于量子物理。例如，量子场论中交换关系的表示问题实质上是和寻找某个拓扑线性空间上拟不变的概率测度问题等价的。又如相应于量子场论中真空态的测度就具有某个拟不变性质。这个事实推动了一般的拟不变测度理论的研究。夏道行利用测度论和算子代数的方法率先对它们作了系统的研究，建立了一整套理论，获得拟不变测度的许多基本性质，例如，证明了如下结果：设X是拓扑群，G是X的子群，G上有拓扑τ使(g,τ)成为第二纲的拓扑群，且G到X中的嵌入是连续的。对每个g∈G，定义左乘变换τg，如果(X,B)上存在有限的正则测度μ,它关于{τg,g∈G }是拟不变的，那么对B中每一个正测度的紧子集K,必然存在(G,τ)中单位元的邻域V,当h∈V时，μ(K ∩τhK)>0。由此，立即可推出在无限维的巴拿赫空间E上不存在关于全空间平移拟不变的正则的概率测度。

另外,设P(x)是(X,B)上的非负可测函数,当g∈G时，定义p(g)=本性下界(p(x)+p(τgx))(本性下界指在X中除去任意一个μ零集后在其上取下界,然后取这些下界的最大值）。

夏道行证明了下面的重要不等式：当(G，τ)又满足第一可列公理时，对B中任一正测度集A，必有(G,τ)中单位元的邻域V和正数с,使得对X上的任一非负可测函数p，成立。

对g∈G，可定义L(x,μ)上的酉算子UG，

{Ug,g∈g}是群g的酉表示,记u是由{Ug,g∈g}张成的L上的对称的弱闭算子代数，夏道行利用对称的弱闭算子代数的分解定理，研究了拟不变测度的分解，证明对偶空间的存在，在这个基础上建立了关于拟不变测度的L傅里叶变换理论和相应的计算公式。看来，这个理论将为无限维空间上的微分方程、变分方程的研究提供工具。

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