伯德图

一种频率特性的图示方法

伯德图是系统频率响应的一种图示方法。伯德图由幅值图和相角图组成，两者都按频率的对数分度绘制，故伯德图常也称为对数坐标图。

频率特性分析(有时也称为频率响应)是利用开环系统函数来分析闭环系统稳定的主要方法，并借助伯德图分析系统稳定性，相比劳斯代数判断更直观。频率响应有乃奎斯特图(极坐标图)和伯德图(对数坐标图)两种方法。两者相比，极坐标图绘制相对简单些，但精度不是很高，所以有时会影响系统闭环稳定性判断的准确性；伯德图绘制相对复杂些，但判断闭环系统稳定性和准确性较高，且判断稳定性原理相对简单。

基本概念

伯德图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨Bode，H.W. 在1940年提出。Bode发明了一种简单但准确的方法绘制增益及相位的图，这样的图后来也就称为了伯德图。

伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线构成。伯德图是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，其横轴频率以对数尺度（log scale）表示，纵坐标幅值或相角采用线性分度，利用伯德图可以看出系统的频率响应。伯德图一般是由二张图组合而成，伯德图由两张图组成：①G(jω)的幅值(以分贝，dB表示)-频率(以对数标度)对数坐标图，其上画有对数幅频曲线；②G(jω)的相角-频率(以对数标度)对数坐标图，其上画有相频曲线。

对数幅值的标准表达式为20 lg|G(jω)|，单位是分贝，相角的单位是度。由于增益用对数来表示（log(ab)=log(a)+log(b)），因此一传递函数乘以一常数，在伯德增益图只需将图形的纵向移动即可，二传递函数的相乘，在波德幅频图就变成图形的相加。幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区，反之属不稳定区。

配合波德相频图可以估算一信号进入系统后，输出信号及原始信号的比例关系及相位。例如一个Asin(ωt) 的信号进入系统后振幅变原来的k倍，相位落后原信号Φ，则其输出信号则为(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是频率的函数。相频图纵轴-180度以上具有正相位裕度、属稳定区，反之属不稳定区。

分析过程

绘制伯德图的一般步骤为：首先将开环频率特性G(jω)H(jω)改写为基本环节的乘积，画出各基本环节的伯德图，然后把各基本环节伯德图的对数幅值相加，相角相加，就得到G(jω)H(jω)的伯德图. 得到伯德图后，对其进行一定的分析，就可以得到系统的稳定特性等。

分解为典型环节

系统开环传递函数由八种典型环节构成，将任意开环传递函数的分子、分母进行因式分解，都可以将开环传递函数转化为若干典型环节的乘积，这八种典型环节为：

具体计算过程如下：

频率特性可以写成一般的形式（公式1）

式中K为增益(放大系数)，ωn为无阻尼自然频率，ζ 为阻尼比。

频率特性的对数幅值(使用记号Lm)表达式为（公式2）

频率特性的相角表达式为（公式3）或（公式4）

伯德图画法

画伯德图时，分三个频段进行，先画幅频特性，顺序是中频段、低频段和高频段。将三个频段的频率特性(或称频率响应)合起来就是全频段的幅频特性，然后再根据幅频特性画出相应的相频特性来。

作伯德图时，首先写出频率特性，然后按常数因子K、积分和微分因子(jω)、一阶因子(1+jωT)和二阶因子[1+2ζ(jω/ωn)+(jω)/ω]1这样四种基本因子分别画出伯德图，再总加而成。

图2、图3是常见简易传递函数的伯德图趋势。

分析方法

伯德图可用来计算负反馈系统的增益裕度（gain margin）及相位裕度，进而确认系统的稳定性。

相关符号定义

先定义以下的符号：

其中：

·AFB是考虑反馈时的放大器增益（闭环增益）

· β是反馈系数

· AOL是不考虑反馈时的放大器增益（开环增益）。

在开环增益AOL远大于1时，闭环增益AFB可以用以下方式近似

在开环增益AOL远小于1时，闭环增益AFB可以用以下方式近似

增益AOL是频率的复变函数，有大小及相位。

上述的式子中，若βAOL乘积=−1时，可能会出现增益无穷大（即为不稳定）的情形。（若用大小和相位来表示，此时βAOL的大小为1，相位为-180度，此条件即称为巴克豪森稳定性准则。配合波德图，不但可以判断系统是否稳定，也可以判断系统接近以上不稳定条件的程度。

在判断系统稳定性时，会用到以下二个频率。第一个频率f180是上述乘积相位恰为-180度的频率，第二个频率f0dB则为乘积的绝对值|βAOL|=1时的频率（若以分贝表示时，则为0dB）。频率f180可以用下式来计算：

其中| |表示复数的绝对值（例如|a+jb| = [a+b]）。而频率f0dB有以下的关系：

增益裕度及相位裕度

增益裕度

增益裕度（gain margin, GM）是衡量系统稳定程度的一种方法。在波德相位图上可以找到βAOL相位到达-180度时的频率，该频率即为f180，之后就可以在增益图上找到该频率时βAOL的大小。

增益裕度也可以用下式表示：

相位裕度

相位裕度（phase margin, PM）是另一种衡量系统稳定程度的方法。在波德增益图上可以找到|βAOL|大小为1的频率，该频率即为f0dB，之后就可以在相位图上找到该频率时βAOL的相位。

若βAOL(f0dB) 的相位 > −180°，表示在任何频率时系统都会稳定，因为在f180时大小已小于1，f0dB时的相位和-180度之间的差称为相位裕度。

若只是单纯要判断系统是否稳定，在系统为最小相位系统时，若f0dB

若是非最小相位系统，需要用其他方式判断稳定性，如奈奎斯特图

伯德图的优势

伯德图表明了一个电路网络对不同频率信号的放大能力。

但是在电子电路中，这种图有可能比较麻烦，一方面，要表示一个网络在低频和高频下的所有情况，那么横轴（频率轴会很长）。此外，一般放大电路的放大倍数可能达到几百，使得纵轴也很长。第三，这样画出的图形往往是很不规则的曲线。

波特（Bode）图是根据上述三点作了改进：

1.横坐标的频率改成指数增长，而不是以前的线性增长，比如频率刻度为。10、100、1000、10^4、等，每一小格代表不同的频率跨度。使一条横轴能表示如1hz到10hz这么大的频率范围。一个更为有用的原因是这样做符合人耳对声音的敏感程度（对数效应）。

2.纵坐标表示放大倍数以10为底的对数的20倍，这是根据分贝的定义做的。这样纵坐标的值大概0到60就足够了。这样在图中一眼就能看出放大的分贝数。相频特性也可以相应的画。

3.把曲线做直线化处理。画图所依据的式子中会得到fL fH的数值。得出的伯德图也应该在fL和fH处出现拐角（此点所在的频率称为截断频率），不过这样处理会产生一定的误差。理论计算可知：在截断频率处真实值与估计值有3dB的误差。在斜率不为0的直线处要标明斜率。标明出每十倍频程放大倍数的变化情况。经过这三种简化，伯德图的曲线就是由一条折线组成看起来非常舒服。虽然经过处理造成了误差，但已经成为一种标准。

范例

考虑以下的低通RC电路，如下图，其频域的转换函数如下：

由转换函数可以得到其截止频率fc（以Hz为单位）为：

另一种等效表示法为：

ωc = 1/(RC)

其中ωc为截止角频率，单位是弧度每秒。

以角频率表示的转换函数如下:

H(jω) = （1+j ω/ωc）-1

上述的方程式是一个正规化后的转换函数，其波德图如图4，后续将介绍如何用直线来近似波德图。

增益图

上述转换函数的增益（以分贝表示）和频率的关系如图5所示。

若在对数尺度的频率下绘制不同频率的增益，上式可以用二条直线近似，而这二条线也就是其波德图增益图的二条渐近线：