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约数

数学术语

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。

简介
约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。
范例
在自然数（0和正整数）的范围内，
4的正约数有：1、2、4。
6的正约数有：1、2、3、6。
10的正约数有：1、2、5、10。
12的正约数有：1、2、3、4、6、12。
15的正约数有：1、3、5、15。
18的正约数有：1、2、3、6、9、18。
20的正约数有：1、2、4、5、10、20。
注意：一个数的约数必然包括1及其本身。
相关概念
如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。
两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。
约数，也叫因数。
求法
枚举法
枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。
例：求30与24的最大公因数。
30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,30。
24的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24。
易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。
短除法
短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）
例：求12和18的最大公约数。
解：用短除法，由图1，易得12和18的最大公约数为2×3=6。
例：求144的所有约数。
解：所有约数（72,2）（36,4）（18,8）（9,16）（3,48）
分解质因数
如果一个质数是某个合数的约数，那么就说这个质数是这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。
将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。
例：求48和36的最大公因数。
把48和36分别分解质因数：
48=2×2×2×2×3
36=2×2×3×3
其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。
辗转相除法
（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b
这一算法的证明如下：
设两数为a、b(b
令c=gcd（a,b），则设a=mc，b=nc，根据前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】
所以 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
例：求8251和6105的最大公因数。
考虑用较大数除以较小数，求得商和余数：
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4
最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。
约数也叫做因数，是因数的另一个称呼。
更相减损术
更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言就是
第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。
例：求98与63的最大公因数。
分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数为7。
注：以上首三个方法同样适用于求多个自然数的最大公约数
求约公式
一般地，对自然数n进行分解质因数，设n可以分解为
n=p⑴^α⑴·p⑵^α*⑵·…·p(k)^α（k）
其中p⑴、p⑵、…p（k）是不同的质数，α⑴、α⑵、…α（k）
是正整数，则形如
n=p⑴^β⑴·p⑵^β*⑵·…·p(k)^β（k）
的数都是n的约数，其中β⑴可取a⑴+1个值：0,1,2，…，α⑴；β⑵可取α⑵+1个值：0,1,2，…，α⑵…；β（k）可取a(k)+1个值：0,1,2，…，α（k）.且n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约数共有
（α⑴+1）（α⑵+1）…（α（k）+1） ⑺
个。
式⑺即为求一个数约数个数的公式。
负约数
定义
国内课本中，最先提到约数这个概念是在小学，而此时还没学负数。
等到学了负数，一般要直到大学数学系“初等数论”中才严格定义约数，那个时候就包括负约数了。
如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当（-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的正约数最小为1，最大为|a|。
例题
105的负约数的和是多少？
105的所有负约数就是105的所有正约数的相反数所组成的集合。
105的正约数有1,3,5,7,15,21,35,105
105的负约数有-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105
其和为 -（1+3+5+7+15+21+35+105） = ﹣192
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