逻辑主义

哲学术语

逻辑主义( logicism)亦称“逻辑斯提”。即“数学哲学中的逻辑主义”。数学基础和数理逻辑研究三大派别之一。主张数学是逻辑的延伸。他们只研究概念间的纯逻辑关系，从逻辑学可推导出全部数学，全部数学可以归结为逻辑学。其代表人物是弗雷格、罗素、怀特海。弗雷格相信全部数学都能从基本的逻辑规律推演出来，认为集合论具有逻辑的性质。他发明了一套无论在当时还是现在都使人觉得难以理解的逻辑符号，并把集合论的某些内容翻译和再造成逻辑学的定义和定理，进而定义了自然数和推演出整个算术理论。著名的罗素悖论使弗雷格把数学建立在集合论之上的想法，遭到严重的打击。但是逻辑主义并未中断。罗素继承了弗雷格的思想，为了解决由集合论危机引起的数学基础危机，提出了从逻辑概念推出数学概念，从逻辑公理推出数学定理，从而推导出全部数学的计划。

来源

罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯粹数学是所有形如‘p蕴涵q’的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。”

这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。

发展

弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分析判断，因此是先验的。根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规律。把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工，计算就是推理。数字规律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有数。因此，数字规律实际上不能应用于外在世界，这些规律并不是自然规律。不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上，这些判断即是自然规律。它们反映的不是自然现象之间的关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。

早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发现悖论，这个计划遭到了困难。他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这就是他和怀特海合著的《数学原理》。

既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上，因此，书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。

不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。

逻辑主义的运用

简介

要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在消除悖论之后，成功地用“类”来定义1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了n×m=m×n。

分析内容

在及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：

1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。

2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。

3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。

这三方面不完全一样，罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。由于哥德尔的不完全定理，3是错的，但是还可以坚持1和2。

逻辑主义的缺陷

罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人，弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑主义的观点。但是，逻辑主义观点尽管受到批判，罗素本人还一直坚持。在三十年代以后，还是有许多人发展逻辑主义。

逻辑主义从—开始就遭到批评，“因为如果数学只是一套逻辑演绎系统，那么它怎么可能反映广泛的自然现象呢？它又怎样能够有创造力呢？它又怎样能够产生新观念呢？”用维特根斯坦的话说，数学就是同语反复(重言式)，结不出任何新知识。

罗素悖论的出现，使得这一派遭到的攻击更大。彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了”。罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1，说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道1的人”，别人也说这一套完全是中世纪的教条。更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任何自然之处。尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。

对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理，它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来，显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。但是，罗素等人的历史功绩是不可磨灭的，他们为数学奠定了逻辑基础。在一段时期内，《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典，至今它还有一定的意义。

逻辑主义也不是后继无人，英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。

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