阿蒂亚-辛格指标定理

数学定理

阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）是微分几何和拓扑学中的一个定理。此定理由英国数学家迈克尔·阿蒂亚与美国数学家艾沙道尔·辛格于1962年给出第一个证明。

定理信息

椭圆算子

设D是k维欧氏空间上的n阶微分算子。如果p1, ..., pk是其上的坐标函数，那么定义其符号（symbol）是以（p1, ..., pk, q1, ..., qk）为自变量的函数，具体定义是去掉D的低阶项，并将最高阶项中的对pi求偏导的算子换成qi。因此D的符号是（q1, ..., qk）的n次齐次多项式。若对任意非零的序列（q1, ..., qk），此多项式的取值都非零，则称D是椭圆算子。例如，带个变量的拉普拉斯算子的符号为q1, ..., qk的平方和，所以这是一个椭圆算子。

以上所述是欧氏空间上的算子。如果M是一个微分流形，其上的偏微商算子可以通过局部坐标系定义。此时它的符号是M的余切丛上的函数；对固定的M上的点，其符号是p的余切空间上的齐次函数。此定义与局部坐标的选取无关。

更进一步，对于M上向量丛E和F之间的偏微商算子D（一样以局部坐标定义），其符号是余切丛上的E和F的拉回丛之间的映射。若D的符号在每个非零余切向量上（x，w）的限制为Ex到Fx的可逆映射，则称D为椭圆算子。

椭圆算子的一个关键特性在于它们“几乎”可逆。对于紧流形上的椭圆算子D，存在伪微分算子P和Q使得与1-PD和1-DQ都是紧算子。由此可推知D的核与余核都是有限维的，即D是一个弗雷德霍姆算子。

解析指标

因为椭圆算子有伪逆，它便是一个弗雷德霍姆算子。对这类算子，可定义指标为Index(D)=dim Ker(D)−dim Coker(D)。这个指标叫做算子D的解析指标。

例二. 考虑流形𝕊1=ℝ/ℤ，算子，其中λ∈ℂ，这是最简单的椭圆算子。若λ∈2πiℤ，则，反之则为零空间；其伴随算子满足类似的性质，不难算出的指数为零。由此例可见与在λ变化时可能有不连续点，但其差则是个常数。

拓扑指标

设X是 n 维紧致无边微分流形，椭圆偏微分算子D:E→F的拓扑指标定义为。换言之，是同调类的最高维项在X的基本同调类上的取值。在此是流形的Todd类，在此是托姆同构，B(X),S(X)指单位球面丛及其边界。ch是陈特征标，σ(D)是D的符号，而是K理论中定义的差元。

例子

高斯-博内-陈定理

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理

设为紧复流形，为其上的复向量丛。定义

则解析指标等于

而拓扑指标等于

A-hat亏格与Rochlin定理

流形的A-hat亏格是个有理数。对于自旋流形，这个值总是整数，若，则它还是个偶数。这个定理可以由指标定理导出，方法是考虑适当的狄拉克算子；当时，此算子的核与余核带有四元数环上的向量空间结构，其复维度必为偶数，因此解析指标也必然是偶数。

发展

盖尔范德（I. Gelfand）首先注意到解析指标的同伦不变性，并在1959年提出了椭圆算子的指标问题，希望以流形的拓扑不变量描述解析指标。黎曼-罗赫定理是最早知道的特例；另一方面，波莱尔与希策布鲁赫早先证明了自旋流形的A-hat亏格的整性，并猜想这个性质可以由某个狄拉克算子的指标诠释。这个问题也由阿蒂亚与辛格在1961年联手解决。

阿蒂亚与辛格在1963年宣布他们的指标定理，但一直没有正式发表，只出现在Palais编辑著作《指标定理讨论班》（1965年出版）上。他们在1968年发表了第二个证明，用K理论取代了初版证明中的配边论方法。

阿蒂亚、博特与Patodi在 1973 年以热传导方程的手法给出另一个证明。格茨勒（E. Getzler）基于爱德华·维腾（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，给出了局部狄拉克算子的局部指标定理的简短证明，这涵摄了实际应用中的大多数例子。

创立者

虽然指标定理以阿蒂亚和辛格的名字命名，但学术界公认，有四位数学家在其中做出了最重要的贡献：除去阿蒂亚和辛格，德国数学家希策布鲁赫和匈牙利数学家博特也在其中。他们有时被称为指标理论的“四人帮”。

证明手法

伪微分算子

主条目：伪微分算子

伪微分算子的想法可以用欧氏空间上的常系数偏微分算子解释。这些算子不外是多项式函数的傅立叶变换；如果我们容许更一般的函数，其傅立叶变换就构成了伪微分算子。对于一般的流形，可以透过局部坐标系定义伪微分算子，只是手续稍微繁琐一些。

指标定理的许多证明中都利用伪微分算子，而非一般的微分算子，因为前者的理论更富弹性。举例来说，椭圆算子的伪逆不是微分算子，却仍是伪微分算子；另一方面，群的元素对应到椭圆伪微分算子的符号。

对伪微分算子可以定义阶数，这个数可以是任意实数，甚至是负无穷大；此外也能定义其符号。椭圆伪微分算子定义为些对长度够长的余切向量为可逆的伪微分算子。指标定理的多数版本皆可推广到椭圆伪微分算子的情形。

配边

指标定理的首个证明奠基于希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理，并运用到配边理论与伪微分算子。想法简述如下。

考虑由资料构成的环，其中是紧定向微分流形，是向量丛，其加法与乘法分别由不交并与积导出；我们考虑此环对关系的商环。这个构造类似于配边环，不过此时我们还虑及流形上的向量丛。解析指标与拓扑指标皆可诠释为从此环映至整数环的同态。托姆的配边理论给出了这个环的一组生成元，我们可以对这些较简单的例子验证指标定理，从而导出一般的情形。

K理论

阿蒂亚与辛格正式发表的第一个证明采用了K理论。设为紧流形，为闭浸入，他们对椭圆算子定义了一个推前运算，并证明保持指标。我们一方面可取为一个包括的高维球面；另一方面，仍取为前述球面，而为其内一点。由于保持指标，而拓扑指标也具备相容的运算，两相比较后可将指标定理化约到一个点的情形，此时极易证明。

热方程

阿蒂亚、博特与Patodi在1973年给出了热传导方程手法的证明。Getzler-Berline-Vergne在2002年给出一个精神相近的简化证明，其中利用了超对称的想法。

设为偏微分算子，为其伴随算子，则、是自伴算子，并具有相同的非零特征值（记入重数），但是它们核空间不一定有相同维度。的指标写作

在此可任取。

上式右侧是两个热核的差，它们在时有渐近表示式，它乍看复杂，但不变量理论表明其中有许多相销项，借此可明确写下领导项，由此可证出指标定理。这些相销现象稍后也得到超对称理论的诠释。

推广

椭圆复形

一个椭圆复形是一个由向量丛构成的复形0 → E0 → E1 →E2 → ... → Em →0 其中的每个箭头都是微分算子，其符号构成一个正合复形。当这个复形只有有两项非零时，前述条件等价于其间的算子是椭圆的，因此椭圆算子是椭圆复形的特例。反过来说，给定一个椭圆复形，分别考虑其奇次项与偶次项的直和，其间的映射由原复形的映射及伴随映射给出，如此则可得到椭圆算子。

带边流形

当考虑带边流形上的椭圆算子时，需要添加椭圆边界条件来得到有限的指标。阿蒂亚和博特将指标定理推广到带边流形上的椭圆算子。

等变指标定理

设紧李群G作用在紧流形和向量丛上，并与所考虑的椭圆算子D可交换，那么D的核与余核都是G的有限维表示，D的指标可以看作G的一个特征（character）。我们可以用等变K理论替代一般的K理论，得到的结果称为等变指标定里。

引语

当阿蒂亚与辛格在2004年获得阿贝尔奖时，公告上是这么形容阿蒂亚-辛格指标定理的：“我们以随时空改变的力与测量量描述世界。自然律以这些量的变化率表示，称为微分方程。这些方程可以有个“指标”，这是方程的解数减去对所求值的限制数目。阿蒂亚-辛格指标以空间的几何性质描述这个量。

艾雪著名的诡异作品《升降》解释了一个简单的例子。图中的人们一直在上坡，却仍绕行着城堡的天井。指标定理可以告诉它们：这是办不到的！”

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