初等函数

数学术语

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

函数概念

初等函数

它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。初等函数在其定义区间内一定连续。

一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。例如，三角函数 y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

有理函数

实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数 y=α0+α1x，它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图象为抛物线。

两个整有理函数之比为分式有理函数。分式有理函数其中最简单的是反比例函数，其图象为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。

两个复系数的多项式之比为有理函数，它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w=zn，n 是自然数，它在全平面是解析的。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周|z|= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw=nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n，它就是w=zn的单叶性区域。幂函数w=zn的反函数为根式函数，它有n个值(k=0，1，…，n-1)，称为它的分支。它们在任何区域θ1z<θ1+2π中都单值解析。

代数函数

求有理函数的反函数则可产生代数函数。如y=xn的反函数为x=yn。

超越函数

超越函数指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如指数函数、对数函数、反三角函数等就属于超越函数。

常用函数

常函数

对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

三角函数

三角函数是起源于几何学的最简单的超越函数。

初等三角函数包括正弦函数y=sinx 、余弦函数y=cosx 、正切函数y=tanx、余切函数y=cotx 、正割函数y=secx和余割函数y=cscx。高等分析学中用弧度制计量角度，即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。

指数函数

形如的函数，式中a为不等于1的正常数。

对数函数

指数函数的反函数，记作，式中a为不等于1的正常数，定义域是零到正无穷的开区间。指数函数与对数函数之间成立关系式，。

反三角函数

三角函数的反函数 ——反正弦函数y = arcsinx 、反余弦函数 y=arccosx （－1≤x≤1，0≤y≤π）、反正切函数y=arctanx 、反余切函数等，以上这些函数常统称为基本初等函数。

双曲函数

由指数函数经有理运算可导出双曲函数。其性质与三角函数很相似。sinhx、coshx分别称为双曲正弦和双曲余弦。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切tanhx=sinhx/coshx和双曲余切cothx=coshx/sinhx等都称为双曲函数。

双曲正弦或超正弦

双曲余弦或超余弦

双曲正切

双曲余切

双曲正割

双曲余割

它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M，又令O为原点，N=(1,0)，将ON，OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函数，并记为coshθ和sinhθ，即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。

幂函数

形如的函数，式中a为实常数。

一般地，形如（a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x、y=x2、y=1/x（注：y=1/x=x-1）等都是幂函数。

数域推广

复变三角函数

例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z，则得到复变三角函数w=sinz和w=cosz，它们是整函数。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函数。它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是对任何z都成立。三角函数与指数函数密切联系，因此应用时很方便。sinz的单叶性区域将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段[-1，1]和负虚轴后得到的区域；它将Rk单叶并共形地映为全平面除去实轴上两条射线( ,-1]和[1, )后得到的区域。类似地可以指出cosz的单叶性区域。

复变指数函数

在指数函数式w=ex中将x换为复变量z，便得到复变指数函数w=ez。复变指数函数有类似于实指数函数的性质：ez是一整函数且对任何复数z，ez≠0；它满足ez1·ez2=ez1+z2；ez以2kπi为周期，ez=ez+2kπi；并且它的导数与本身相同，即 (ez)'=ez。函数w=ez在全平面实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez的单叶性区域。例如，指数函数把直线x=x0变为圆周，把直线y=y0变为射线argw=y0，因而把区域Sk变为区域0w<2π，把宽度为β的带形区域α0<α0+β(β≤2π)变为开度为β的角形域α0w<α0+β。

复变对数函数

对数函数w=lnz是指数函数w=ez的反函数，它有无穷多个值2kπ（k 为整数），称为它的分支。每一个分支在区域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。对数函数把这个区域单叶地变为带形区域θ0w<θ0+2π，也把开度为β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域θ0w<θ0+β。像实对数函数一样，它满足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。

复变反三角函数

w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分别是sinz，cosz和tanz的反函数，并称复变反三角函数。它们能由对数函数合成。它们都是多值函数。

复变双曲函数

将实双曲函数推广到复数域得复变双曲函数。像实双曲函数一样，复变双曲函数能由复变指数函数合成。

复变幂函数

将实幂函数的实变量用复数替换即得复变幂函数。一般来说，它是多值函数。

导数函数

一般初等函数的导数还是初等函数，但初等函数的不定积分不一定是初等函数。另外初等函数的反函数不一定是初等函数。

常见定义

1.由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合所得到的函数，称为初等函数。

2.由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合构成，并且是用一个解析式表达的函数，称为初等函数。

3.由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合构成，并且可以用一个解析式表达的函数，称为初等函。