化圆为方

古希腊尺规作图问题之一

化圆为方是古希腊尺规作图问题之一，即：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知，该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。但若放宽限制，这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德的螺线等。

相关研究

其一

方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米德把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是，面积是。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长及半径，则这三角形的面积就是：

与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。

二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的「穷竭法」，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正6边形），然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、…边形，他相信「最后」的正多边形必与圆周重合，这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。

其二

其实，若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师意大利数学家达芬奇（1452－1519）用已知圆为底，圆半径的为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积，然后再将矩形化为等积的正方形即可。

现已证明，在尺规作图的条件下，此题无解。

历史

公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱。在法庭上，阿那克萨哥拉申诉道：“哪有什么太阳神阿波罗啊！那个光耀夺目的大球，只不过是一块火热的石头，大概有伯罗奔尼撒半岛那么大；再说，那个夜晚发出清光，晶莹透亮象一面大镜子的月亮，它本身并不发光，全是靠了太阳的照射，它才有了光亮。”结果他被判处死刑。

在等待执行的日子了，夜晚，阿那克萨哥拉睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”

阿那克萨哥拉把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想他把所有的时间都用上，也一无所获。

经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，阿那克萨哥拉获释出狱。他把自己在监狱中想到的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题。

2000年前的希波克拉底证明了新月形面积，即图1：

(半圆)S(扇形)，故(新月形)(三角形)。

三角形不难平方化，从而新月形也能平方化。他的方法既简单又高明，这使得人们充满希望。直到林德曼证明了圆周率是超越数以后，才知道是不可能的。

问题叙述

化圆为方问题的完整叙述是：

给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度倍的线段。

不可能性证明

尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出化圆为方问题的解法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质。

1.尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点和，以为单位长度，射线为 -轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于。

设E是的一个非空子集。如果某直线经过中不同的两点，就说是 -尺规可作的，简称 -可作。同样地，如果某个圆的圆心和圆上的某个点是中的元素，就说是 -可作的。进一步地说，如果里的某个点是某两个 -可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点是-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有-尺规可作的点的集合记作，那么当E中包含超过两个点的时候，肯定是的真子集。从某个点集开始，经过一步能作出的点构成集合，经过两步能作出的点就是，……以此类推，经过n步能作出的点集就是。而所有从E能尺规作出的点集就是：

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合开始，尺规可作点的集合：那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数和是规矩数当且仅当是中的一个点。

可以证明，有理数集是所有规矩数构成的集合的子集，而又是实数集的子集。另外，为了在复数集内讨论问题，也会将平面看作复平面，同时定义一个复数是（复）规矩数当且仅当点是中的一个点。所有复规矩数构成的集合也包含作为子集，并且是复数集的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。

2.圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出的长度。这等价于从1开始作出。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。

林德曼证明的超越性用到了称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数在有理数域上线性独立，那么也在上线性独立。反设是代数数，那么也是代数数。考虑代数数0和，由于是无理数，所以它们在上线性独立。然而和分别是1和-1，并非在上线性独立，矛盾。这说明不是代数数，而是超越数。

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