密着拓扑

伪度量空间名词

密着拓扑是有最小可能数的开集的拓扑，因为拓扑的定义只要求两个集合是开集。尽管它的简单性，带有多于一个元素和密着拓扑的空间 X 缺乏关键的想要的性质：它不是T0 空间。

定义

在拓扑学中，带有密着拓扑（trivial topology）的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间（indiscrete space），它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上，这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。

密着拓扑是有最小可能数的开集的拓扑，因为拓扑的定义只要求两个集合是开集。尽管简单，带有多于一个元素的密着拓扑空间缺乏关键的性质：它不是T0空间。

操作案例

密着拓扑属于伪度量空间，在其中任何两点之间的距离是 0，并属于一致空间，在其中全体笛卡尔乘积是是仅有的周围。

设是带有连续映射的拓扑空间范畴，和是带有函数的集合范畴。如果是指派每个拓扑空间到它的底层集合的函子(所谓的遗忘函子)，并且是把密着拓扑放置到给定集合上的函子，则右伴随于。（把离散拓扑放置到给定集合上的函子左伴随于。）

基本原理

在拓扑学中，带有密着拓扑(trivial topology)的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间(indiscrete space)，它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上，这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。

不可分空间的其他性质包括:

唯一的闭集是空集和。的唯一可能的基是。如果有多于一个点，则由于它不是 T0，它不满足任何更高的T 公理。特别是，它不是豪斯多夫空间。不是豪斯多夫的，就不是序拓扑，也不是可度量的。但是是正则空间、完全正则空间、正规空间和完全正规空间；尽管是在非常空洞意义上，因为仅有的闭集是和。是紧致空间因此是仿紧致空间、林德勒夫空间和局部紧致空间。所有定义域是拓扑空间而陪域是的函数都是连续函数。是道路连通并因此是连通空间。

是第一可数空间、第二可数空间和可分离空间。所有的子空间都有密着拓扑。所有的商空间都有密着拓扑。密着拓扑空间的任意乘积，带有要么乘积拓扑要么盒拓扑，都有密着拓扑。所有中的序列都收敛于的所有点。特别是，所有序列都有收敛子序列（整个序列），因此是是序列紧致。所有集合除了的内部都是空集。所有的非空子集的闭包都是。在另一种方式下: 所有的非空子集都是稠密的，这个性质刻画了密着拓扑空间。如果是任何带有多于一个元素的的子集，则所有的元素都是的极限点。如果是单元素集合，则所有的点仍是 S 的极限点。是Baire空间。两个承载密着拓扑的拓扑空间是同胚的，当且仅当它们有相同的势。在某种意义上，密着拓扑的对立者是离散拓扑，它的所有子集都是开集。

性质

不可分空间的其他性质包括：

1、唯一的闭集是空集和。

2、的唯一可能的基是。

3、如果有多于一个点，则由于它不是，它不满足任何更高的分离公理。特别是，它不是豪斯多夫空间。不是豪斯多夫的，就不是序拓扑，也不是可度量的。但是是正则空间、完全正则空间、正规空间和完全正规空间；尽管是在非常空洞意义上，因为仅有的闭集是和。

4、是紧致空间因此是仿紧致空间、林德勒夫空间和局部紧致空间。所有定义域是拓扑空间而陪域是X的函数都是连续函数。

5、是道路连通，并因此是连通空间。

6、是第一可数空间、第二可数空间和可分离空间。

7、所有的子空间都有密着拓扑。

8、所有的商空间都有密着拓扑。

9、密着拓扑空间的任意乘积，带有要么乘积拓扑要么盒拓扑，都有密着拓扑。

10、所有中的序列都收敛于的所有点。特别是，所有序列都有收敛子序列（整个序列），因此是是序列紧致。

11、所有集合除了的内部都是空集。

12、所有的非空子集的闭包都是。在另一种方式下：所有的非空子集都是稠密的，这个性质刻画了密着拓扑空间。

13、如果是任何带有多于一个元素的的子集，则所有的元素都是的极限点。如果是单元素集合，则所有的点仍是的极限点。

14、是Baire空间。

15、两个承载密着拓扑的拓扑空间是同胚的，当且仅当它们有相同的势。

在某种意义上，密着拓扑的对立者是离散拓扑，它的所有子集都是开集。密着拓扑属于伪度量空间，在其中任何两点之间的距离是0，并属于一致空间，在其中全体笛卡尔乘积是是仅有的周围。设是带有连续映射的拓扑空间范畴，和是带有函数的集合范畴。如果是指派每个拓扑空间到它的底层集合的函子（所谓的遗忘函子），并且是把密着拓扑放置到给定集合上的函子，则右伴随于。（把离散拓扑放置到给定集合上的函子左伴随于。）

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