时间序列模型

时间序列数据

时间序列模型是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。它一般采用曲线拟合和参数估计方法（如非线性最小二乘法）进行。时间序列模型常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。

简介

在生产和科学研究中，对某一个或一组变量x(t)进行观察测量，将在一系列时刻t1, t2, …, tn (t为自变量)按照时间次序排列，并用于解释变量和相互关系的数学表达式时间序列，这种有时间意义的序列也称为动态数据。这样的动态数据在自然、经济及社会等领域都是很常见的。如在一定生态条件下，动植物种群数量逐月或逐年的消长过程、某证券交易所每天的收盘指数、每个月的gnp、失业人数或物价指数等等。

种类

ARMA模型

ARMA模型的全称是自回归移动平均(auto regression moving average)模型，它是最常用的拟合平稳序列的模型，它又可细分为AR模型(auto regression model)、MA模型(moving average model)和ARMA模型(auto regression moving average model)三大类。

AR模型：

一般的p阶自回归过程AR(p)是

Xt=j1Xt-1+ j2Xt-2 + … + jpXt-p + mt (*)

如果随机扰动项是一个白噪声(mt=et)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为

Xt=j1Xt-1+ j2Xt-2 + … + jpXt-p +et

MA模型

如果mt不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：

mt=et - q1et-1 - q2et-2 - ¼ - qqet-q

该式给出了一个纯MA(q)过程（pure MA(p) process）。

ARMA模型：

将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving average）过程ARMA（p,q）：

Xt=j1Xt-1+ j2Xt-2 + … + jpXt-p + et - q1et-1 - q2et-2 - ¼ - qqet-q

限制条件

条件一：

这个限制条件保证了模型的最高阶数。

条件二：

这个限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。

条件三：

这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。

ARIMA模型

ARIMA模型又称自回归求和移动平均模型，当时间序列本身不是平稳的时候，如果它的增量，即的一次差分，稳定在零点附近，可以将看成是平稳序列。在实际的问题中，所遇到的多数非平稳序列可以通过一次或多次差分后成为平稳时间序列，则可以建立模型：

这说明任何非平稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳，就可以对差分后序列进行ARIMA模型拟合了。

模型是指阶差分后自相关最高阶数，为移动平均最高阶数的模型，通常它包含多个独立的未知系数：它可以用最小均方误差原则实现预测：

用历史观察值的线性函数表示为：

式中，的值由下列等式确定：

如果把记为广义自相关函数，有

容易验证的值满足如下递推公式：

那么，的真实值为：

由于的不可获取性，所以的估计值只能为：

真实值与预测值之间的均方误差为：

要使均方误差最小，当且仅当，所以在均方误差最小原则下，期预报值为：

预测误差为：

真实值等于预测值加上预测误差：

其中，预测误差的均值和方差分别为：

步骤

抽样

用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。

作图

根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列，例如采用门限回归模型。

拟合

辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用通用ARIMA模型（自回归滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARIMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用ARIMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。

时间序列是一种特殊的随机过程，当中的取非负整数时，就可以代表各个时刻，就可以看作是时间序列（time series）,因此，当一个随机过程可以看作时间序列时，我们就可以利用现有的时间序列模型建模分析该随机过程的特性。

用途

描述

根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。

分析原因

当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解给定时间序列产生的机理。

预测

一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。

决策

根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。

系统

DPS数据处理系统提供给用户一套较完整的时间序列建模分析、进行预测预报的工具，包括平稳无趋势时间序列分析预测、有趋势的时间序列预测、具季节性周期的时间序列预测以及差分自回归滑动平均(ARIMA)建模分析、预测等时间序列分析和建模技术。