晶格动力学

研究晶体原子在平衡点附近的振动和这些振动对晶体物理性质的影响的学科

晶格动力学（lattice dynamics）是研究晶体原子在平衡点附近的振动和这些振动对晶体物理性质的影响的学科。固体物理学的基础内容之一。

简史

1907年A.爱因斯坦提出，组成晶体的N个原子有3N个独立的自由度，各自由度均看成是以同一频率ωE振动的谐振子，它的能量应是量子ћωE的整数倍，ћ为普朗克常数h除以2π。他的理论解释了在温度趋于绝对零度时，晶格原子振动贡献的比热也趋于零。1912年，P.J.W.德拜把晶体当作连续介质求得振子频率分布，导出在低温下晶格比热依赖温度T3的规律，与实验符合甚好。同年，M.玻恩和T.冯·卡门共同提出，晶体中原子振动形成的格波可分解成不同模式的谐波，从而奠定了晶格动力学的基础。1954年，M.玻恩和黄昆合著的《晶格动力学理论》出版，全面总结了这一领域的基本理论和实验研究成果以及晶格振动对固体各方面物性的影响，被国际学术界誉为经典著作。从20世纪50年代起，晶格动力学主要是发展了可直接测定晶格振动频率－波矢关系（色散关系）的实验技术，对各种材料用不同的动力模型计算晶格振动的色散关系取得成功，对新材料（如晶体表面、半导体超晶格、C60及其固体、高温超导体等）的晶格振动特性的探索研究。

格波方程

考虑由两种原子构成的一维原子链。晶格常数为a，第l个原胞中这两种原子的质量分别为M1和M2，位移为u(l,1)和u(l,2)，可以得到：

u(l,1)=M1-1/2u(1)ei(ωt－qlna)

u(l,2)=M2-1/2u(2)ei[ωt－qln(a/2)]

上式是一种行进波（ω为频率，q为波矢），称为格波。

同时对应于一个波矢q，有两个振动频率ω+和ω－，ω+的格波称为光学波，ω－的格波称为声学波。一维双原子链的ω（q）也称为格波的色散关系。光学波是原胞中两个原子相对位移所产生的波动。声学波则是原胞中两个原子同相位移产生的波动。由于是一维原子链，这两类格波都是纵波，即原子位移和波传播的方向都在一条直线上。

简正模

通常把N个原胞的一维双原子链看成是无限长的双原子链中的一段。这样可采用周期性边界条件：

u(l,j)=u(l+N,j)，j=1,2,…

由此求得波矢的值：

q=2π/(Na)·m，m=0,1,2,…,N－1

因此在以q为变量的直线上，相邻两个q值点的间距为2π/(Na)=2π/L，L为链长。在(－π/a,0)范围内，q的取值有N个，等于晶体的原胞数目。双原子链的格波有两支，即光学波和声学波，因此格波的频率依ωi(q)共有2N个值，即有2N个模式的格波。第i个模式的格波等效于同一频率ω振动的简谐振子，称i为简正模。按照量子理论，每个简谐振子的能量为(n+1/2)ћω，n=0,1,2,…，N=0的情况是谐振子的零点（振动）能量。ћωi为格波的能量量子，称为声子。

实际晶体格波谱

若一个有限晶体沿三个轴a1、a2、a3方向都有N个周期，则整个晶体有N3个原胞。每个原胞有S个原子，整个晶体有3SN3个自由度。此时，波矢q沿q空间三个轴b1、b2、b3方向的取值个数都是N个，因而q取值的总数为N3。在三维情况，每个原子的位移有三个方向，不仅有纵向声学波和光学波，还有横向声学波和光学波。由于声学波代表原胞中原子同向位移形成的格波，所以只有一支纵向声学波(LA)和两支横向声学波(TA)。光学波一共有3(S－1)支，其中1/3是纵向光学波(LO)，2/3为横向光学波(TO)。所以，三维晶体的简正模总数仍然等于晶体的原子自由度总数。

非简谐性

晶格振动源于原子间的弹性恢复力。若用势能表述，表达式中只含原子位移相对值的二次项，故称之为简谐近似，这在原子位移较小时是正确的。若原子间位移相对值较大，在势能表示式中应当含有三次以上各项。这部分称为非简谐项。它们引导出的现象称为非谐效应。

晶体的热膨胀现象在简谐近似下是无法解释的。因谐振子的平均位置不因振幅大小而改变，永远处在中心点。非谐性带来格波频率ωi(q)依赖于晶体体积。体积增大使弹性能量增加，格波频率下降，导致振动引起的自由能减小。两种效应结合使晶体体积依赖温度。非简谐性还与晶格热导率有密切关系，没有非简谐性各模式的声子之间不发生相互作用，携带热流的声子分布一旦建立，将不随时间变化，意味着没有热阻存在，与实际情况不符。只有计入非简谐性之后，各模式声子之间有相互作用，引起散射，才可给出热阻的存在。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省