矩阵论
2013年清华大学出版社出版的图书
《矩阵论》是2013年清华大学出版社出版的图书，作者是方保镕。
内容简介
本书比较全面、系统地介绍了矩阵的基本理论、方法及其应用。全书分上、下两篇，共10章，分别介绍了线性空间与线性算子，内积空间与等积变换，λ矩阵与若尔当标准形，赋范线性空间与矩阵范数，矩阵的微积分运算及其应用，广义逆矩阵及其应用，矩阵的分解，矩阵的克罗内克积、阿达马积与反积，几类特殊矩阵（如：非负矩阵与正矩阵、循环矩阵与素矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉大象尔矩阵等），辛空间与辛矩阵等内容。各章均配有一定数量的习题。附录中还给出了几套模拟自测试题。为了方便读者学习和参考，本书备有一张光盘，其中包含各章习题详解和模拟考试自测试题的解答提示等，供读者选用。
前言
随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。为此，1989年我们根据国家教委制定的工科研究生学习“矩阵论”课程的基本要求编写了这本教材，并于1993年和1999年由河海大学出版社正式出版，在部分高校讲授过多年。为使本书适应新世纪的要求，这次又对本书进行了充实更新，并对内容作了精心的处理。
本书内容分上、下篇，共10章，比较全面、系统地介绍了矩阵的基本理论、方法及其应用。第1章与第2章重点介绍线性空间与线性算子、内积空间与等积变换等，这部分内容既是线性代数知识的推广和深化，又是矩阵几何理论的基础，熟练掌握和深刻理解它们对后面内容的学习乃至将来正确处理实际问题有很大的作用。第3章至第5章主要介绍λ矩阵与若尔当标准形、赋范线性空间与矩阵范数、矩阵的微积分运算及其应用。这些内容是矩阵理论研究、矩阵计算及应用中不可缺少的工具和手段。以上5章内容均为1991年国家教育委员会工科研究生数学课程教学指导小组对“矩阵论”课程所制定的基本要求，故本书把它们放入上篇，约为2~3学分（讲授36~54学时）。考虑到矩阵理论的完整性、系统性，又能反映最新进展，同时为满足某些专业多学时教学的需要，本书的下篇安排有： 第6章介绍广义逆矩阵及其应用；第7章介绍矩阵的因子分解； 第8章介绍几类特殊矩阵，诸如非负矩阵与正矩阵、素矩阵与循环矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉克尔矩阵等； 第9章介绍矩阵的克罗内克积、阿达马积与反（Fan）积； 第10章介绍辛空间与辛矩阵，这部分内容反映学科的前沿，有着广阔的应用前景，这在同类教材中是独有的。本书每章精选了一定数量的习题。考虑到矩阵论课程的理论性强，概念比较抽象，且有独特的思维方式和解题技巧，有些读者在做
这些习题时可能会感到比较困难，为使这部分读者更好地掌握这门课程的教学内容，我们特意提供一张光盘，其中包含本书各章习题详解和模拟考试自测试题解答等，供读者选用。目录中带*号的内容可用于选学或自学。
本书引入新概念时，既重视几何理论，又兼顾应用背景或具体应用； 既有系统性，适合全面阅读（多学时），又具有可分性，便于选读（少学时）； 既注重取材得当（涵盖多种特殊矩阵与特殊运算法则）， 又能够面向前沿，反映最新进展（如辛空间、辛变换）。本书的编排由浅入深，阅读本书只需具备高等数学和线性代数的基本知识。
作者诚挚地感谢王能超教授，他仔细审阅了全部书稿，并提出了不少有益的建议。参与本书第10章编写工作的还有王如云教授，同时要感谢冯康教授、汪道柳研究员对第10章编写工作的指导和帮助。本书可作为理工科大学各专业研究生的学位课程教材，也可作为理工科和师范类院校高年级本科生的选修课教材，并可供有关专业的教师和工程技术人员参考。
由于编著者水平有限，书中如有不妥乃至谬误之处，祈望读者批评指正。
编著者
目录
前言Ⅰ
上篇
第1章线性空间上的线性算子3
1.1线性空间3
1.1.1线性空间的定义及基本性质3
1.1.2基、维数与坐标8
*1.1.3线性子空间15
习题1.121
1.2线性算子及其矩阵24
1.2.1线性空间上的线性算子24
1.2.2同构算子与线性空间同构27
1.2.3线性算子的矩阵表示29
1.2.4线性算子的运算31
1.2.5线性变换与方阵34
1.2.6线性变换的特征值问题42
*1.2.7线性变换的不变子空间54
习题1.256
第2章内积空间上的等积变换62
2.1内积空间62
2.1.1内积与欧几里得空间63
2.1.2酉空间介绍73
习题2.174
2.2等积变换及其矩阵77
2.2.2两类常用的正交变换及其矩阵85
*2.2.3酉变换与酉矩阵介绍95
习题2.2101
*2.3埃尔米特变换及其矩阵103
2.3.1对称变换与埃尔米特变换103
2.3.2埃尔米特正定、半正定矩阵106
2.3.3矩阵不等式109
2.3.4埃尔米特矩阵特征值的性质111
2.3.5一般的复正定矩阵114
2.3.6正规矩阵115
习题2.3117
第3章λ矩阵与若尔当标准形119
3.1λ矩阵119
3.1.1λ矩阵的概念119
3.1.2λ矩阵在相抵下的标准形122
3.1.3不变因子与初等因子124
3.2若尔当标准形136
3.2.1数字矩阵化为相似的若尔当标准形136
3.2.2若尔当标准形的应用147
习题3155
第4章赋范线性空间与矩阵范数158
4.1赋范线性空间158
4.1.1向量的范数158
4.1.2向量范数的性质165
习题4.1167
4.2矩阵的范数168
4.2.1矩阵范数的定义与性质168
4.2.2算子范数170
4.2.3谱范数的性质和谱半径176
习题4.2179
4.3.2矩阵的条件数181
*4.3.3矩阵特征值的摄动分析185
习题4.3189
第5章矩阵分析及其应用192
5.1向量序列和矩阵序列的极限192
5.1.1向量序列的极限192
5.1.2矩阵序列的极限194
5.2矩阵级数与矩阵函数198
5.2.1矩阵级数198
5.2.2矩阵函数206
5.3函数矩阵的微分和积分216
5.3.1函数矩阵对实变量的导数217
5.3.2函数矩阵特殊的导数221
5.3.3矩阵的全微分226
5.3.4函数矩阵的积分228
*5.4矩阵微分方程229
5.4.2常系数非齐次线性微分方程组的解236
5.4.3n阶常系数微分方程的解239
习题5244
下篇
第6章广义逆矩阵及其应用251
6.1矩阵的几种广义逆251
6.1.1广义逆矩阵的基本概念251
6.1.2减号逆A-252
6.1.3自反减号逆A-r256
6.1.4最小范数广义逆A-m262
6.1.5最小二乘广义逆A-l265
6.1.6加号逆A+267
6.2广义逆在解线性方程组中的应用273
6.2.1线性方程组求解问题的提法274
6.2.2相容方程组的通解与A-274
6.2.3相容方程组的极小范数解与A-m277
6.2.4矛盾方程组的最小二乘解与A-l281
6.2.5线性方程组的极小最小二乘解与A+286
习题6288
第7章矩阵分解291
7.1矩阵的三角分解291
7.1.1消元过程的矩阵描述291
7.1.2矩阵的三角分解295
7.1.3常用的三角分解公式300
7.2矩阵的QR（正交三角）分解306
7.2.1QR分解的概念306
7.2.2QR分解的实际求法309
7.3矩阵的最大秩分解316
7.4奇异值分解与谱分解320
7.4.1矩阵的奇异值分解320
7.4.2单纯矩阵的谱分解324
习题7326
第8章几类特殊矩阵330
8.1非负矩阵330
8.1.1非负矩阵与正矩阵330
8.1.2不可约非负矩阵336
8.1.3素矩阵与循环矩阵342
8.2随机矩阵与双随机矩阵343
8.3单调矩阵346
8.4M矩阵与H矩阵348
8.4.1M矩阵348
8.4.2H矩阵353
8.5T矩阵与汉克尔矩阵354
习题8357
第9章矩阵的特殊积及其应用358
9.1克罗内克积358
9.1.1克罗内克积的概念358
9.1.2克罗内克积的性质359
9.2阿达马积364
9.3反积及非负矩阵的阿达马积366
9.4克罗内克积应用举例366
9.4.1矩阵的拉直367
9.4.2线性矩阵方程的解368
习题9370
第10章辛空间与辛变换简介371
10.1反对称双线性函数与辛空间372
10.1.1反对称双线性函数372
10.1.2线性函数的外积372
10.1.3辛空间的定义373
10.2子空间的反对称正交补374
10.2.1反对称正交补374
10.2.2几种特殊的子空间378
10.2.3辛空间的性质379
10.2.4辛基379
10.3辛变换与辛矩阵380
10.3.1辛变换及其矩阵380
10.3.2辛变换的特征值383
10.4辛对合385
习题10390
附录模拟考试自测试题（共十套）391
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