标准正交基

规范正交基

线性代数中,一个内积空间的正交基(orthogonal basis)是元素两两正交。称基中的元素为基向量规范正交基

名词释义
代数名词
线性代数中,一个内积空间的正交基(orthogonal basis)是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基(Orthonormal basis)。
无论在有限维还是无限维空间中,正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中,正交基不再是哈默尔基,也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中,正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间(而不是整个空间)的集合。
注意,在没有定义内积的空间中,“正交基”一词是没有意义的。因此,一个巴拿赫空间有正交基,当且仅当它是一个希尔伯特空间。
简单范例
(1). a=(,,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是的一组正交基;
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是的一组标准正交基。
(3)在欧几里德空间中,集合:{e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)}组成一个标准正交基。
(4)由fn(x) = exp(2πinx)定义的集合:
{fn:n∈Z}组成在复勒贝格空间L([0,1])上的一个标准正交基。
n维欧式空间V中,n个向量的正交向量组称为V的正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基。由单位向量构成的并且相互正交的基称为标准正交基。正交,意为两向量的内积等于零
注: ① 由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准正交基。 ② n维欧氏空间V中的一组基为标准正交基。
基本性质
B是H上的一个正交基,那么H中的每个元素x都可以表示成:
当B是标准正交基时,就是:
x的模长表示为:
即使B不是可数的,上面和式里的非零项也只会有可数多个,所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作x的傅立叶展开,详见傅里叶级数
若B是H上的一个标准正交基,那么H“同构”于序列空间l(B)。因为存在以下H->l(B)的双射Φ,使得对于所有H中的x和y有:
存在性
运用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法,可以证明每个希尔伯特空间都有基,并且有正交基。同一个空间的正交基的基数必然是相同的。当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基,就说这个空间是可分的。
哈默尔基
有前面的定义可以知道,在无穷维空间的情况下,正交基不再是一般线性代数的定义下的基。为了区分,把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。
在内积空间的实际应用中,哈默尔基甚少出现,因此提到“基”的概念时,一般指的是正交基。
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