拓扑分析

拓扑学

在数学里，拓扑分析，即拓扑学（英语：topology），或意译为位相几何学，是一门研究拓扑空间的学科，主要研究空间内，在连续变化（如拉伸或弯曲，但不包括撕开或黏合）下维持不变的性质。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

拓扑学

拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼兹，他在17世纪提出“位置的几何学”（geomeτria siτus）和“位相分析”（analysis siτus）的说法。莱昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。“拓扑学”一词由利斯廷于19世纪提出，虽然直到20世纪初，拓扑空间的概念才开始发展起来。到了20世纪中叶，拓扑学已成为数学的一大分支。

拓扑学有许多子领域：

历史

拓扑学开始于对几何上特定问题的研究。李昂哈德·欧拉于1736年有关柯尼斯堡七桥问题的论文被认为是现代拓扑学的第一份学术著作。

“拓扑学”一词于1847年由利斯廷在《Vorsτudien zur τopologie》一书中提出。拓扑学的英文于1883年在自然杂志上对利斯廷的讣文中第一次出现，用来区分“…定性的几何学，于主要被以定量关系对待的一般几何学中”。不过，上述用词都与现代对拓扑学的定义不完全相同。

现代拓扑学主要依靠集合论的概念。集合论由格奥尔格·康托尔于19世纪后半所发展。除了建立起集合论的基本概念外，康托尔亦将欧氏空间里的点集合作为他对傅里叶级数之研究的一部分。

儒勒·昂利·庞加莱于1895年发表论文《相位分析》（Analysis Situs），引进同伦与同调的概念，这些概念被认为是代数拓扑的一部分。

统合格奥尔格·康托尔、维多·沃尔泰拉、西萨尔·阿尔泽拉、雅克·阿达马与朱利奥·阿斯科利等人对函数空间的成果，莫里斯·弗雷歇于1906年引入度量空间的概念。度量空间被认为是一般拓扑空间的特例。于1914年，费利克斯·豪斯多夫提出“拓扑空间”一词，并给出现代称之豪斯多夫空间的定义。今日的拓扑空间之定义为豪斯多夫空间稍微的推广，由卡齐米日·库拉托夫斯基于1922年所给出。

简介

拓扑学可定义为“对特定物件（称为拓扑空间）在特定变换（称为连续映射）下不变之性质的研究，尤其是那些在特定可逆变换（称为同胚）下不变之性质。”

拓扑被用来指附加于一集合X上的结构，该结构基本上会将集合 X 描绘成一拓扑空间，使之能处理在变换下的收敛性、连通性与连续性等性质。

拓扑空间几乎会自然地出现在数学的每个分支里。这使得拓扑学成为数学中的重要统合概念之一。

激励拓扑学里的洞见来自于一些不依靠物件实际形状，而是其组织方式的几何问题。例如，正方形与圆形有许多共通之性质：两者（自拓扑学的观点来看）均为一维物件，且都能将平面分成外部及内部两个部分。

在拓扑学的第一篇论文中，李昂哈德·欧拉证明，不可能找到一条通过柯尼斯堡（现为加里宁格勒）的路，且七座桥都恰只通过一次。此一结论不依靠桥的长度，以及其之间的距离，而只与其连通性质有关：哪座桥会连接哪两座岛与河岸。这个问题被称为柯尼斯堡七桥问题，且导致了图论的发展。

同样地，代数拓扑上的毛球定理表示，“没有人能抚平毛球上的毛，而没有翘起的毛。”这个事实能立即让大多数人信服，尽管他们可能不知道该定理更形式化的陈述，即球体上不存在非零连续切向量场。如同“柯尼斯堡七桥问题”一般，此一结论亦不依靠球体的形状，而可适用于任何一类光滑表面，只要表面上没有洞。

为了处理这些不依靠物件实际形状的问题，必须清楚知道这些问题只依靠着何种性质。这产生出了同胚的概念。不可能只穿越每座桥一次能适用于其排列同胚于那些在柯尼斯堡里七座桥之桥梁；而毛球定理也适用于任何与球体同胚之形状。

直观上来看，两个空间同胚，若其中一个空间可不须切开或黏合即可变形成另一个空间。一个古老的笑话为，拓扑学无法分辨咖啡杯与甜甜圈，因为足够柔软的甜甜圈可被凹成一个杯底，中间的洞则可缩成一个手柄。

同胚可以被认为是最基本的“拓扑等价”。另一种为同伦等价。很难不使用到专业术语来描述同伦，但其中一个重要的概念为，两个物件为同伦等价，若两者都可由某个较大的物件“压扁”而成。

概念

集合上的拓扑

非正式地说，“拓扑”是指一个集合里的元素之间空间上的关连。相同的集合可以有不同的拓扑。例如，实数线、复平面及康托尔集可被视为具有不同拓扑的相同集合。

形式上来看，令 X 为一集合，且 τ 为 X 的子集族；则 τ 称之为“ X 上的拓扑”，若：

若 τ 为 X 上的拓扑，则二元对 (X, τ) 称之为“拓扑空间”。符号Xτ可用来标记具有特定拓扑 τ 的集合 X。

τ 的元素被称为 X 内的开集合。X 的子集被称为闭集合，若其补集为 τ 内的元素（即其补集为开集合）。X 的子集可能是开集合、闭集合、两者都是（闭开集），或两者都不是。空集合及 X 自身永远都同时是开集合与闭集合。一个包含点 x 的开集合称之为 x 的“邻域”。

一个具拓扑的集合称之为拓扑空间。

形式上来看，令 X 为一集合，且 τ 为 X 的子集族；则 τ 称之为“ X 上的拓扑”，若：

若 τ 为 X 上的拓扑，则二元对 (X, τ) 称之为“拓扑空间”。符号Xτ可用来标记具有特定拓扑 τ 的集合 X。

一个具拓扑的集合称之为拓扑空间。

连续函数与同胚

拓扑空间之间的函数被称为“连续”的，若任一开集合的原像均为开集合。若函数将实数映射至实数（两个空间均具有标准拓扑），则其连续之定义等价于微积分内对连续之定义。若一连续函数为一对一且满射，且若其反函数亦为连续，则该函数称之为同胚，且该函数的定义域被称为同胚于其值域。另一种说法为，该函数具有至拓扑的自然延伸。若两个空间同胚，则两者具有相同的拓扑性质，且被认为在拓扑上是相同的。立方体与球体同胚，咖啡杯与甜甜圈亦同。不过，圆圈并不同胚于甜甜圈。

流形

因为拓扑空间极为多变且奇特，许多拓扑学的领域会专注于被称为流形的更为熟悉之空间。“流形”是一个拓扑空间，在每一点附近都类似欧氏空间。更确切地说，每个 n 维流形上的点均有个与 n 维欧氏空间同胚之邻域。线与圆是一维流形，而双扭线不是。二维流形亦称之为曲面，例子包括平面、球体、环面等可以在三维空间实现的曲面，以及克莱因瓶与实投影平面等无法在三维空间实现之曲面。

主题

一般拓扑学

一般拓扑学是拓扑学的分支，处理用于拓扑学的基本集合论定义与建构。一般拓扑学是拓扑学内大多数分支的基础，包括微分拓扑学、几何拓扑学与代数拓扑学。一般拓扑学又称为点集拓扑学。

点集拓扑学的基本概念为“连续性”、“紧致性”与“连通性”。直观来看，连续函数将邻近的点映射至邻近的点上。紧致集合为可被有限多个任意小之集合覆盖之集合。连通集合为不能被分成两个拆开之部分的集合。“邻近”、“任意小”与“拆开”等词都可以透过使用开集合来精确定义。若改变了开集合的定义，连续函数、紧致集合与连通集合的定义亦会改变。每个对“开集合”定义之选择均是一个“拓扑”。具拓扑之集合称之为“拓扑空间”。

“度量空间”是个可为距离指配一个被称为“度量”之数值的一类拓扑空间。拥有度量能简化许多证明，而许多常见的拓扑空间也都是度量空间。

代数拓扑学

代数拓扑学为数学的一个分支，使用抽象代数里的工具来研究拓扑空间。其基本目标为寻找代数不变量，以分类同胚意义下的拓扑空间，但最常分类的是同伦等价下的拓扑空间。

其中最重要的不变量有同伦群、同调与上同调。

虽然代数拓扑学主要是使用代数来研究拓扑问题，但使用拓扑学来解决代数问题，有时也是有可能的。例如，代数拓扑数能轻易地证明自由群的任一个子群仍是个自由群。

微分拓扑学

微分拓扑学是一门学科，研究在微分流形上的可微函数，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。

更具体来说，微分拓扑考虑只依靠定义在流形上之光滑结构的性质与结构。可在光滑流形上附加额外的几何结构，以用来阻碍存在于微分拓扑中的某几类等价与形变。例如，体积与黎曼曲率是可区分相同光滑流形上的不同几何结构之不变量；亦即，虽然可光滑地“摊平”某些流形，但可能需要扭曲空间，并影响其曲率或体积。

几何拓扑学

几何拓扑学是拓扑学的一个分支，主要侧重于低维（即二维、三维与四维）流形及其与几何之互动的研究，但亦包括部分较高维拓扑。几何拓扑学的研究主题包括可定向性、柄分解、局部平坦与平面及高维商弗力士定理。

在高维拓扑里，特征类是个基本的不变量，割补理论是其重要理论。

低维拓扑具有强烈几何含意，体现在二维的单值化定理里，这个曲面都有一个常数曲率的度量；几何上来说，每个曲面都会是下面3种几何的其中一种：正曲率/球面、零曲率/平面、负曲率/双曲面。三维的几何化猜想（现为定理）表示，每个三维流形都可被分解成数个质流形，而每个质流形都会是八种几何的其中一种。