函数性质是一个数学术语，函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数，函数是一种特殊映射。
顶点式
对于任意一条顶点在
坐标轴原点上的二次函数，有y=ax2
对于函数y=ax2,在X轴上平移h个单位，有y=a(x-h)2
对于函数y=ax2,在Y轴上平移k个单位，有y=ax2+k
对于函数y=a(x-h)2在Y轴上平移k个单位，或函数y=ax2+k在X轴上平移h个单位有：
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k也是最常用的一条顶点式，通过代入特殊的
点坐标，均可以转换成y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=ax2三者之一。
三角函数
三角函数是数学中属于
初等函数中的
超越函数的一类函数。它们的本质是
任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在
平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个
实数域。另一种定义是在
直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成
无穷数列的极限和
微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有
单值函数意义上的
反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数 sin（A）=a/h
余弦函数 cos（A）=b/h
正切函数 tan（A）=a/b
余切函数 cot（A）=b/a
余割函数 csc (A) =h/a
·平方关系：
sin2α+cos2α=1
tan2α+1=sec2α
cot2α+1=csc2α
·商的关系：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)]
sin3α=3sinα-4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)-3cosα
sin2(α/2)=(1-cosα)/2
cos2(α/2)=(1+cosα)/2
tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
1.(1)
任意角的概念以及
弧度制.正确表示
象限角、区间角、
终边相同的角，熟练地进行
角度制与弧度制的换算.
(2)任意角的
三角函数定义，三角函数的符号变化规律，
三角函数线的意义.
3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“
五点法”作图、图像法变换，理解A、ω、φ的
物理意义.
4.三角函数的
定义域、
值域、
奇偶性、
单调性、周期性.
5.两角和与差的三角函数、
倍角公式，能正确地运用
三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和
恒等证明.
本章包括任意角的
三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.
三角函数是
中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和
高等数学的基础，它在物理学、天文学、
测量学以及其他各种
应用技术学科中有着广泛的应用.
函数的几种特性
①有界性
④周期性
公式一：
设α为
任意角，
终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的
三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的
三角函数值之间的关系：
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的
三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
(以上k∈Z)
最值问题
一次函数y=kx+b在其
定义域(
全体实数)内是没有
最大值和最小值的，但是，如果对
自变量x的
取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．
例1设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．
大值a．
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的
具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．
解 从已知条件可解得
y=40-2x，z=x-10．
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
解得10≤x≤20．
由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．
二次函数的最大值与最小值
例3已知x1，x2是方程
x-(k-2)x+(k+3k+5)=0
解 由于△=[-(k-2)]2-4(k+3k+5)≥0，，所以
二次方程有
实根3k+16k+16≤0，
例4已知函数
有最大值-3，求实数a的值．
解 因为
的范围内分三种情况讨论．
-a+4a-1=-3
例5已知边长为4的
正方形截去一个角后成为
五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积
S=xy，2≤X≤4．
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
二次函数S=
f(x)的图像开口向下，
对称轴为x=5，故当x≤5时，
函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值
例6设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的
解析式和p的值．
解 由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)+g(p)=p+16p+13，
所以 p+16p+13=30，
p=1(p=-17舍去)．
由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x-1)+5，a＜0，
所以
g(x)=x+16x+13-f(x)
=(1-a)x+2(a+8)x+8-a．
由于g(x)的最小值是-2，于是
解得a=-2，从而
g(x)=3x+12x+10．
法是
去分母后，化为关于x的二次方程，然后用
判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．
解 去分母、整理得
(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0．
△≥0，即
△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，
解得 -4≤y≤1．
时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．
说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．
yx-ax+(y-b)=0．
因x是实数，故
△=(-a)-4·y·(y-b)≥0，
由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
即 y-3y-4≤0． ②
由①，②得
所以a=±4，b=3．
其他函数的最大值与最小值
处理
一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或
下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．
解 先估计y的下界．
又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．
说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要
举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：
但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．
例10设x，y是实数，求u=x+xy+y-x-2y的最小值．
分析 先将u看作是x的
二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的
代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．
又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．
例11求函数
的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．
学习指导
函数的概念
（1）映射：设
非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示
对应法则，b=f(a)。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为
定义域，象集C=f(x)x∈A为
值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素。
函数的通性
（1）
奇偶性：
函数定义域关于
原点对称是判断
函数奇偶性的
必要条件，在利用
定义判断时，应在化简
解析式后进行，同时灵活运用
定义域的变形，如f(-x)f(x)=0， （f(x)≠0）。
奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。
（2）
单调性：研究函数的单调性应结合函数
单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图像法；③单调性的运算性质（实质上是
不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。
（3）周期性：周期性主要运用在
三角函数及
抽象函数中，是
化归思想的重要手段。
求周期的重要方法：①定义法；②
公式法；③图像法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2b-2a。
（4）
反函数：（考纲中反函数的教学，只要求通过比较同底的
指数函数和
对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a ＞ 0，a≠1）。）
函数的图像
函数的图像既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映
函数的性质，在解题过程中，充分发挥图像的工具作用。
图像作法：①描点法；②
图像变换。应掌握常见的图像变换。
本单元常见的
初等函数：
一次函数，
二次函数，
反比例函数，
指数函数，
对数函数。在具体的
对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。
分段函数是重要的
函数模型。
对于
抽象函数，通常是抓住函数特性是
定义域上恒等式，利用
赋值法（
变量代换法）解题。主要思想方法：
数形结合，分类讨论，
函数方程，化归等。