应力波

应力和应变扰动的传播形式

应力和应变扰动的传播形式。比如，当炸药在土岩介质中爆炸时，其冲击压力以波动形式向四外传播，就是一种应力波。当应力与应变呈线性关系时，介质中传播的是弹性波；呈非线性关系时，为塑性波和冲击波。

基本介绍

应力波是应力和应变扰动的传播形式。在可变形固体介质中机械扰动表现为质点速度的变化和相应的应力、应变状态的变化。应力、应变状态的变化以波的方式传播，称为应力波。通常将扰动区域与未扰动区域的界面称为波阵面，波阵面的传播速度称为波速。地震波、固体中的声波和超声波等都是常见的应力波。应力波的研究同地震、爆炸和高速碰撞等动载荷条件下的各种实际问题密切相关。在运动参量不随时间变化的静载荷条件下，可以忽略介质微元体的惯性力，但在运动参量随时间发生显著变化的动载荷条件下，介质中各个微元体处于随时间变化着的动态过程中，特别是在爆炸或高速碰撞条件下，载荷可在极短历时（毫秒、微秒甚至纳秒量级）内达到很高数值（1010、1011甚至1012帕量级），应变率高达102～107秒-1量级，因此常需计及介质微元体的惯性力，由此导致对应力波传播的研究。对于一切具有惯性的可变形介质，当在应力波传过物体所需的时间内外载荷发生显著变化的情况下，介质的运动过程就总是一个应力波传播、反射和相互作用的过程，这个过程的特点主要取决于材料的特性。应力波研究主要集中在介质的非定常运动、动载荷对介质产生的局部效应和早期效应以及载荷同介质的相互影响（见冲击载荷下材料的力学性能），研究时需要考虑材料在高应变率下的动态力学性能和静态力学性能的差别。问题的复杂性在于，应力波分析是以已知材料动态力学性能为前提的，而材料动态力学性能的实验研究又往往依赖于应力波的分析。

研究简史

当应力与应变呈线性关系时，介质中传播的是弹性波；呈非线性关系时，为塑性波和冲击波。弹性波理论是在19世纪30年代由S.-D.泊松、 M.B.奥斯特罗格拉茨基、G.G.斯托克斯等人，以及随后由瑞利等人研究与弹性振动相联系的问题而发展起来的。塑性波理论则直到20世纪40年代，由于第二次世界大战期间军事技术的需要，由T.von卡门、G.I.泰勒和X.A.拉赫马图林等人分别独立发展的。至于与应变率相关的粘塑性理论，则是50年代前后由B.B.索科洛夫斯基和L.E.马尔文等提出弹－粘塑性理论后开始发展起来的。近三十年来，应力波研究得到迅速发展，已在地震，工程爆破、爆炸加工和爆炸合成，超声波和声发射技术，机械设备的冲击强度，工程结构和建筑的动态响应，弹丸对装甲的撞击侵彻、微流星体和雨雪冰沙对飞行器的高速撞击以及地球、月球的陨石坑和地质结构中“冲击变性”的研究，材料在高应变率下动态力学性能和本构关系的研究，断裂动力学的研究，冲击载荷下材料的力学性质、电磁性质和相变等的研究，高能量密度粒子束（电子束、X射线、激光等）对材料的作用（见粒子束爆炸）的研究等广阔的领域中有着重要的应用。

描述和分类

应力波波速的描述与参考坐标系的选择有关，若以X表示在物质坐标中波阵面沿其传播方向的位置，t表示时间，则C=dX/dt称为物质波速或内禀波速。若以x表示在空间坐标中波阵面沿其传播方向的位置，则c=dx/dt称为空间波速。两种波速是同一物理现象的不同表述方式。对于平面波，两种波速的关系是：

c=v+(1+ε)C,

式中v为质点速度，ε为工程应变。

对于本构关系不依赖于应变率的所谓速率无关材料，如弹性体、弹塑性体等，相应地有弹性波、弹塑性波等；对于本构关系依赖于应变率的所谓速率相关材料，如粘弹性体、粘弹塑性体等，相应地有粘弹性波、粘弹塑性波等。

应力波按波阵面几何形状分为平面波、柱面波、球面波等；按质点速度扰动与波传播方向的关系分为纵波和横波；按介质受力状态分为拉伸波、压缩波、扭转波、弯曲波、拉扭复合波等；按控制方程组是否为线性分为线性波和非线性波。按介质连续性要求，质点位移u在波阵面上必定连续，但其导数则可能间断，数学上称为奇异面。若u的一阶导数间断，即质点速度和应变在波阵面上有突跃变化，则称为一阶奇异面或强间断，这类应力波称为激波或冲击波（见固体中的激波）。若u及其一阶导数都连续，但其二阶导数（如加速度）间断，则称为二阶奇异面,这类应力波称为加速度波。依次类推，还可以有更高阶的奇异面，统称弱间断，都是连续波。奇异面理论在应力波研究中具有重要意义。

平面波情况最简单，表现最典型，研究得也最充分。以下以平面波为例，说明不同材料中应力波的传播特性及其与介质的相互作用。

速率无关材料中的应力波

对于初始密度为ρ0、在动载荷下应力σ和应变ε间具有单值函数关系σ=σ(ε）的速率无关材料，由质量守恒和动量守恒方程可得到以位移u(X,t)为未知量的拟线性波动方程：

式中。方程（1）有两族分别代表右行波和左行波的实特征线和相应的沿特征线的相容关系：

式中波速C和波阻抗ρ0C完全由材料性能决定。此结果与气体动力学中的一维非定常运动相类似。求解应力波的传播问题在数学上归结为在给定的初始和边界条件下求解波动方程⑴或等价的特征线方程组⑵。常用的数值解法有特征线法、有限差分方法和有限元法。

弹性波

对各向同性线弹性材料，dσ/dε为常数，因此线弹性波波速（即声速）Ce为恒值：对于一维应力纵波为C0=(E/ρ0)1/2，式中E为杨氏模量；对于侧向受限的一维应变纵波为C1=(E′/ρ0)1/2，侧限弹性模量

其中λ、μ为拉梅系数，K为体积压缩模量，ν为泊松比。C1也即无限弹性介质中的纵波（无旋波、膨胀波）波速。对于横波（等容波、畸变波），只需把u、σ和ε相应地理解为横向质点位移、剪应力和剪应变，则得横波波速Ct=(G/ρ0)1/2,G为剪切模量。某些典型材料的弹性波波速值见附表。关于弹性波的详细知识见弹性波。

塑性波

对弹塑性材料，随应力波幅值的增大，一旦满足屈服条件将传播塑性波。例如，在一维应力作用下，当σ超过单轴屈服限Y0时传播塑性波，波速直接由单轴应力－应变曲线塑性段的斜率按式⑴确定。对一维应变纵波，按米泽斯或特雷斯卡屈服条件，当轴向应力超过侧限屈服限（许贡纽弹性限）σHKL=Y0(1-ν)/(1-2ν）时，传播塑性波，波速 =[（K+4Gp/3)/ρ0]1/2，式中塑性强化模量Gp=μY'Y/(3μ+Y'Y），其中Y为考虑强化的作为塑性功Wp函数的屈服应力，Y'=(dY/dWp）≥0。对理想塑性体Gp=0, 等于体积弹性波速（K/ρ0)1/2。由于材料应力-应变曲线的塑性段斜率通常小于弹性段斜率，则由式⑴知塑性波速通常小于弹性波速，即塑性波总尾随在弹性前驱波的后面。由式⑴还可知：对于递增强化材料，应力－应变曲线下凹（即），高波幅处扰动传播速度大于低波幅处扰动传播速度，从而形成激波（图1a上部为应力－应变曲线，中、下部表示波速和波结构）；对于递减强化材料，应力－应变曲线上凸（即），高波幅处扰动传播速度小于低波幅处扰动传播速度，在波的传播过程中波形将变得愈来愈平坦（图1b）；对于线性强化材料，（即），塑性波波速为恒值(E1/ρ0)1/2，E1为线性强化模量（图1c）。有关塑性加载波的结论也适用于非线性弹性波。另见塑性波。

图1 在恒定外载作用下具有不同强化特性的弹塑性杆中一维应力波传播示意图

卸载波

弹性变形的可逆性意味着加载和卸载遵循相同的应力－应变关系，所以弹性波传播中的卸载问题不需另行处理；塑性变形的不可逆性则意味着加载和卸载遵循不同的应力－应变关系。实验表明弹塑性材料从塑性变形状态卸载时一般遵循胡克定律。按此，卸载扰动以弹性波速Ce传播。这样，弹塑性材料的动态加、卸载过程是一个以较快波速Ce传播的卸载扰动与以较慢的塑性波波速Cp传播的塑性加载扰动相互作用的过程，介质中弹性卸载区和塑性加载区的界面不断变化着。因此，对弹塑性材料动态加卸载问题的求解可归结为在给定的初始条件和边界条件下联立求解塑性加载区和弹性卸载区的两组不同的波动方程。问题的复杂性在于，求解联立方程要求在两区边界上满足运动学和动力学相容条件，而此边界却是在解题中才能确定的。此外，卸载后的介质还可发生第二次塑性加载及随后的卸载，所以一般难以得到方程组的解析解，故多采用数值解法。在弹性波速Ce比塑性波速Cp大得多的情况下，可作刚性卸载假定（相当于Ce→∞），使问题简化为刚塑性动力学问题。

速率相关材料中的应力波

对于速率相关材料，其力学响应通常可概括为两部分：与速率无关的瞬态响应和与速率相关的非瞬态响应，而各种非瞬态响应可归结为由具有粘性性质的内耗散力所引起。这样，对于在弹性响应的基础上计及速率相关性的粘弹性介质，如高分子材料等，相应地有粘弹性波。粘性效应的主要体现是波传播中的弥散现象（波速依赖于频率）和吸收现象（波幅随传播距离而衰减）。类似地，对于在弹塑性响应的基础上计及速率相关的介质，相应地有粘弹塑性波。如果只对塑性部分计及粘性效应则相应地有弹粘塑性波，其总应变率由瞬态的弹性应变率 0和非瞬态的粘塑性应变率组成，而取决于所谓超应力，即实际应力σ与准静态应力－应变关系所决定的平衡态应力σe（ε）之差。在一维情况下有：

式中函数g称为松弛函数。这类弹粘塑性波的主要特点是：波的传播速度由材料瞬态响应决定，故弹粘塑性波速等于弹性波速，而大于速率无关材料中的塑性波速；由于内耗散力的粘性效应，波在传播中将不断衰减。

应力波的反射透射

应力波到达物体边界或不同波阻抗材料的界面时，将发生反射和透射，常引起材料的断裂破坏。

以弹性波为例：对于法向入射波，当在固定边界反射时，反射波与入射波应力等值同号，即应力的总和恰好是入射波应力值的两倍；当在自由边界反射时，反射波与入射波应力等值异号，而质点速度的总和恰好是入射波质点速度值的两倍。对于斜入射的弹性纵波或横波，一般将同时反射和透射纵波和横波。在介质自由表面处，与波的绕射现象相关，还可能产生一种沿着介质表面传播的弹性表面波（例如瑞利波），它是纵波与横波耦合形成的一种非均匀平面波，波幅随着距自由表面的深度呈指数衰减，波速Cs略低于横波波速Ct（见前表，表中k为一常数，对不同材料数值不同），且与频率无关（即无频率弥散现象）。弹塑性波的反射有时会出现反射卸载，形成非常复杂的波系。

反射断裂是由应力波反射所造成的断裂现象。在材料和工程结构的动态断裂研究中具有重要意义。当由压缩加载波和随后的卸载波所组成的压力脉冲入射到介质自由表面时，压缩波部分首先卸载反射为拉伸波，它与入射压力脉冲中的卸载波部分相互作用后，将在邻近自由表面处造成拉应力，一旦满足动态断裂准则即导致断裂，这种断裂称为层裂（图2a）。裂片从背面飞出。同时，由于形成了新的自由表面，又会使继续入射的压力脉冲在新表面反射而造成第二层层裂。依次类推有可能造成多层层裂。类似地，由两自由表面反射的拉应力波在物体心部或角部等处相遇而相互作用后，可导致心裂和角裂等（图2b和图2c）。一般来讲，材料本身或材料间的联结往往可承受强压缩而经不起拉伸，因而反射断裂是动态破坏的一种重要形式。军事上的碎甲弹和爆炸力学实验技术中的飞片技术都是据此原理发展而成的。

图2 反射断裂示意图

发展趋势

应力波研究当前发展的主要动向为：进一步由一维理论向二维和三维理论发展，向复合载荷条件下的应力波研究发展；由小变形向大变形的应力波研究发展；由应变率无关理论向应变率相关理论发展；由纯力学应力波向热-力学耦合的应力波研究发展；由各向同性介质向各向异性和复合材料中的应力波研究发展；以及向更广泛地采用电子计算机和寻找新的测量短历时、高强度的动态过程的实验技术发展。

参考书目

H．考尔斯基著，王仁等译：《固体中的应力波》，科学出版社，北京，1958。（H. Kolsky, Stress Waves in Solids，Oxford Univ, Press，London，1953.）

J. S. Rinehart，Stress Transients in Solids，John S. Rinehart，Santa Fe，New Mexico，1975.

W. K. Nowacki，Stress Waves in Non-elastic Solids，Pergamon Press，London，1978.

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